Проекция вектора на вектор, базис и координаты вектора.

Проекцией вектора a на вектор b называется число

Возьмем в пространстве упорядоченную тройку взаимно ортогональных единичных векторов i, j, k и совместим ее с декартовой системой координат x, y, z.

Такая тройка векторов – переход i®j®k осуществляется против часовой стрелки – называется правой тройкой. Тройка векторов в которой переход i®j®k осуществляется по часовой стрелке называется левой, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые тройки векторов.

Наряду с правой тройкой векторов i, j, k рассмотрим произвольный вектор a и поместим его начало в начало координат. Из его конца опустим перпендикуляры на три координатные плоскости и построим прямоугольный параллелепипед. Длины его сторон, расположенных на координатных осях, обозначим соответственно – . Таким образом, получаем три вектора – .

Из рисунка видно, что по правилу параллелограмма вектор a можно представить в виде

. (2.14.1)

Формула (2.14.1) показывает что, любой вектор может быть выражен через тройку векторов i, j, k. Эти вектора являются основными (базисными), а остальные выражаются через них. Говорят, что вектора i, j, k образуют базис. Числа называются координатами вектора a в заданном базисе.

Диагональ параллелепипеда (модуль вектора a) равна квадратному корню из суммы квадратов трех его измерений. Таким образом, модуль вектора выражается через координаты формулой

. (2.14.2)

Обозначим углы между вектором a и векторами i, j, k – соответственно. Тогда

(2.14.3)

Величины называются направляющими косинусами вектора a.

. (2.14.4)

Возводя равенства (2.14.4) в квадрат и складывая, получаем характеристическое свойство направляющих косинусов

(2.14.5)

Сумма векторов и произведение вектора на число выражаются через координаты по формулам

Теперь можно дать новое (аналитическое) определение вектора.

Вектор – это математический объект, который в заданном базисе представляется тройкой чисел, называемых координатами вектора

,

при этом сложение векторов и умножение вектора на число выполняется по следующим правилам