Аксиоматическое определение линейного векторного пространства

Рассмотренными выше свойствами векторов, касающихся операций сложения и умножения на число, обладают и другие математические объекты (числа, матрицы и т.д.). Обобщим свойства сложения векторов и умножения векторов на действительные числа на произвольные абстрактные объекты неизвестной природы. Свойства обычных векторов мы получали в качестве геометрических теорем. Для абстрактных объектов такой возможности нет, поэтому поступим наоборот – получаемые ранее свойства объявим новыми аксиомами.

Рассмотрим некоторое множество L, составленное из элементов x, y, z, …, которые мы по прежнему условимся называть векторами.

Множество L называется линейным векторным пространством (ЛВП), если выполняются следующие три группы аксиом.

I. Любым векторам сопоставлен вектор , называемый суммой векторов x и y, обозначаемый и при этом имеют место следующие аксиомы сложения.

1) Коммутативность: .

2) Ассоциативность: .

3) Существование нулевого вектора: .

4) Существование противоположного вектора: .

II. Для любого и любого определено произведение вектора на число, при этом выполняются следующие аксиомы умножения на число.

1) Умножение на единицу: .

2) Ассоциативность: . Следует отметить, что произведения в левой и правой частях могут в общем случае определяются по разному.

III. Относительно указанных действий имеют место две аксиомы дистрибутивности.

1) . Следует отметить, что знаки сложения в левой и правой части равенства могут иметь разный смысл.

2) .