Линейная независимость системы векторов

Рассмотрим систему векторов . Выражение

(2.20.1)

называется линейной комбинацией системы векторов ЛВП.

Векторы называются линейнонезависимыми, если равенство

выполняется лишь при . В противном случае, когда хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, система векторов называется линейно зависимой.

Теорема 1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то эта система векторов линейно зависима.

Доказательство: Рассмотрим систему векторов Тогда линейная комбинация

будет равна нулевому вектору при что и доказывает теорему.

Теорема 2. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

1) Необходимость.

Пусть – линейно зависимая система векторов и надо показать, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Согласно условию не при всех равных нулю одновременно. Допустим, что . Тогда после прибавления к обеим частям равенства () и умножения равенства на получим

2) Достаточность.

Теперь один из векторов является линейной комбинацией остальных и нужно показать, что – линейно зависимая система векторов. Согласно условию . Тогда после прибавления к обеим частям равенства , получим – . Что и требовалось доказать.

Теорема 3. Для линейной зависимости векторов

в пространстве необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (2.20.2)

Доказательство:

Для доказательства отметим, что это равенство выражает условие компланарности трех векторов в пространстве , равносильное условию их линейной зависимости.

Теорема 4. Для линейной зависимости векторов

в пространстве необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(2.20.3)

Доказательство:

Для доказательства запишем условие линейной зависимости векторов в координатной форме

или

Сравнивая координаты векторов в левой и правой части равенства, получаем однородную систему n алгебраических уравнений с n неизвестными

Эта система по теореме Кронекера-Капелли имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда её главный определитель равен нулю. Что и требовалось доказать.

Теорема 5. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо выполнение условия

. (2.20.4)

Определитель называется определителем Вронского (вронскиан). Следует отметить, что теорема формулирует лишь необходимое, но не достаточное условие линейной зависимости системы функций.

Доказательство:

Для доказательства теоремы запишем условие линейной зависимости функций

Дифференцируя обе части этого равенства, получим однородную систему уравнений относительно

По теореме Кронекера-Капелли эта система имеет ненулевые решения в том случае, если главный определитель системы . Что и требовалось доказать.