Плоскость и гиперплоскость

Рассмотрим в пространстве декартову систему координат. Каждой точке этого пространства M(x, y, z) можно поставить в соответствие радиус-вектор , начало которого всегда находится в начале координат O(x, y, z). Положение любой плоскости в пространстве однозначно определяется:

1) единичным вектором , перпендикулярным плоскости,

2) расстоянием р от точки О до плоскости.

Обозначим

Точка М будет лежать на заданной плоскости, тогда и только тогда, когда векторы и будут ортогональны и их скалярное произведение будет равно нулю.

или

(2.24.1)

Соотношение (2.24.1) называется векторным уравнениемплоскости.

Подставляя в уравнение (2.24.1) координаты векторов

,

получаем нормальное уравнение плоскости

. (2.24.2)

Уравнение (2.24.2) представляет собой линейное уравнение относительно трех переменных.

Линейное уравнение

(2.24.3)

называется общим уравнением плоскости. Его легко свести к уравнению (2.24.2) умножением на коэффициент μ

.

Коэффициент μ подбирается так, чтобы получилось уравнение вида (2.24.2)

Характеристическое свойство направляющих косинусов дает,

.

или

Таким образом

(2.24.4)

Поскольку расстояние – , и соответственно величина – , то знак коэффициента μ выбирают противоположным знаку коэффициента D. Коэффициент μ называется – нормирующий множитель.

Коэффициенты уравнения (2.24.3) образуют вектор

. (2.24.5)

Этот вектор перпендикулярен рассматриваемой плоскости и называется главным вектором плоскости.

Пример. Рассмотрим общее уравнение плоскости

Главный вектор плоскости – . Вычислим нормирующий множитель

Определим направляющие косинусы и расстояние p

Запишем нормальное уравнение плоскости

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости относительно системы координат.

1. – плоскость проходит через начало координат.

2. – перпендикулярен оси Ox, плоскость параллельна оси Ox.

3. – перпендикулярен оси Oy, плоскость параллельна оси Oy.

4. – перпендикулярен оси Oz, плоскость параллельна оси Oz.

5. – плоскость проходит через ось Ox.

6. – плоскость проходит через ось Oy.

7. – плоскость проходит через ось Oz.

8. – плоскость перпендикулярна оси Oz.

9. – плоскость перпендикулярна оси Oy.

10. – плоскость перпендикулярна оси Ox.

Если плоскость проходит через заданную точку , то уравнение такой плоскости имеет вид

(2.24.6)

Такое уравнение иногда называют уравнением связки плоскостей.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , получается из условия компланарности трех векторов

и записывается в виде

(2.24.7)

Полученные результаты можно обобщить на пространство с произвольным числом измерений – . Так общим уравнением гиперплоскости называют уравнение

. (2.24.8)

Его главным вектором является вектор

. (2.24.9)

Нормирующий множитель имеет вид

. (2.24.10)

Направляющие косинусы и величина p вычисляются по формулам

. (2.24.11)

Нормальное уравнение гиперплоскости принимает вид

. (2.24.12)

получается умножением (2.24.8) на (2.24.10).

Векторное уравнение гиперплоскости записывается также, как уравнение обычной плоскости

.

Здесь – радиус-вектор, – нормированный (единичный) вектор ортогональный к гиперплоскости.

Очевидно, что гиперплоскость в пространстве тоже является пространством и имеет размерность п – 1.