Базис и размерность линейного пространства

В пространстве понятия базиса и разложение в нем вектора были введены из геометрических соображений. В линейном векторном пространстве таких соображений нет, поэтому здесь приходится вводить аналогичные понятия аналитическими методами.

Упорядоченная система п линейно независимых векторов называется базисом в линейном пространстве L, если любой вектор является их линейной комбинацией

. (2.21.1)

Это выражение называют разложением вектора x по базису, числа называют координатами вектора х в базисе , а сам вектор кратко обозначают

. (2.21.2)

Таким образом, при наличии базиса произвольное линейное пространство может рассматриваться как п - мерное пространство .

Теорема 1. Координаты вектора в заданном базисе единственны.

Доказательство:

Для доказательства предположим, что вектор х в базисе имеет два различных разложения

Тогда

В силу линейной независимости базисных векторов, получаем

или

,

что и требовалось доказать.