Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Евклидово пространство
Линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством. В скалярное произведение в евклидовом пространстве E позволяет ввести в нем метрические соотношения, характерные для геометрического пространства . Величина называется модулем или длиной вектора х в евклидовом пространстве. Очевидно, что , причем . Если , то вектор х называется нормированным или единичным вектором. При этом всякий ненулевой вектор х можно нормировать – поставить ему в соответствие единичный вектор В пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского , (2.23.1) которое основано на известном неравенстве . Покажем, что это неравенство остается справедливым для произвольного евклидова пространства. Рассмотрим скалярный квадрат Вычислим дискриминант Таким образом , или окончательно , что и требовалось доказать. В пространстве неравенство Коши-Буняковского принимает вид . (2.23.2) Здесь , . В пространстве неравенство Коши-Буняковского принимает вид . (2.23.3) Здесь . Неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести понятие угла между векторами в абстрактном евклидовом пространстве . (2.23.4) При этом будет выполнятся обычное неравенство – . Векторы х и у называются ортогональными тогда и только тогда, когда .
Теорема 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору. Доказательство: . Теорема 2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы. Доказательство: Рассмотрим систему взаимно ортогональных векторов – . Умножим соотношение скалярно на вектор . В силу взаимной ортогональности от этого произведения останется только скалярный квадрат . Таким образом, все коэффициенты и система векторов – линейно независима. Что и требовалось доказать. Доказанное свойство означает, что в пространстве всякая система из п ортогональных векторов образует базис.
Теорема 3. (Теорема Пифагора). Если векторы х и у ортогональны, то .
Доказательство: По условию теоремы имеем – . Вычислим . Что и требовалось доказать.
Теорема 4. В евклидовом пространстве справедливы неравенства треугольника , . Доказательство: Возведем в квадрат левую часть первого неравенства или Извлекая квадратный корень, получим первое неравенство треугольника. Что и требовалось доказать. Второе неравенство треугольника доказать самостоятельно. В п - мерном евклидовом пространстве можно ввести так называемый ортонормированный базис – где – символ Кронекера. Координаты вектора в ортонормированном базисе называются коэффициентами Фурье и выражаются с помощью скалярного произведения Таким образом . (2.23.5) В ортонормированном базисе скалярное произведение записывается обычным образом . (2.23.6) Для не ортонормированного базиса формула вычисления скалярного произведения (2.22.6) может существенно усложниться.
|