Примеры линейных векторных пространств

1. Пусть Тогда введенные аксиомы выражают обычные законы арифметики.

2. Пусть - множество всех векторов в пространстве. Тогда имеем обычные соотношения для векторов

;

3. Пусть - множество векторов в пространстве . Тогда

,

.

По аналогии с пространством введем сумму векторов и произведение вектора на число

,

.

Роль нулевого элемента играет вектор Легко видеть, что все аксиомы ЛВП выполняются и - линейное пространство.

4. Пусть - пространство функций, непрерывных на отрезке . Элементами множества являются функции Известно, что сумма непрерывных функций есть непрерывная функция, а произведение непрерывной функции на любое число тоже даёт непрерывную функцию. Все приведенные выше аксиомы соответствуют обычным законам арифметики для ординат. Роль нулевого элемента выполняет функция .

5. Пусть - множество положительных чисел. Сумму элементов в определим как произведение действительных чисел , а произведение вектора на число как . Все аксиомы ЛВП выполняются. Роль нулевого вектора играет единица, а роль противоположного для x элемента принадлежит числу .