Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Примеры базисов в ЛВП
|
|
1. Базисом в пространстве 
является система векторов
2. В пространстве 
можно образовать аналогичный базис
Существуют и другие варианты выбора базиса в пространстве , например
3. В линейном векторном пространстве 
в качестве векторов базиса можно взять систему функций 
. Легко показать, что при любом n эта система линейно независима, 
. Число векторов базиса бесконечно.
Размерностью линейного пространства L называется такое натуральное число 
, что в L существует п линейно независимых векторов, а любые п + 1 векторов являются линейно зависимыми.
Таким образом, размерность пространства – это максимальное число линейно независимых векторов в этом пространстве.
Понятия базиса и размерности связаны между собой следующими теоремами.
Теорема 2. В линейном пространстве L размерности п существует базис, содержащий ровно п векторов.
Доказательство:
Согласно определению размерности в L существует п линейно независимых векторов – 
и для любого вектора 
система векторов – 
является линейно зависимой
,
причём 
– в противном случае векторы были бы линейно независимы.
Выразим отсюда вектор x
.
Таким образом, произвольный вектор x является линейной комбинацией векторов , которые можно считать базисными векторами.
Очевидно, что в качестве базиса в п - мерном пространстве можно взять произвольную систему, состоящую из п линейно независимых векторов.
Теорема 3. Если в линейном пространстве L существует базис, то размерность L равна числу базисных векторов.
Доказательство: (Можно на лекции не доказывать.)
Пусть в пространстве L задан базис – . Следовательно размерность L – не менее, чем п. Для доказательства нужно установить линейную зависимость любых п + 1 векторов. Обозначим их – 
.
Представим векторы 
в координатной форме
.
Рассмотрим условие
, (2.21.3)
или
.
В координатной форме это соотношение сводится к системе п линейных уравнений относительно 
(2.21.4)
Главный определитель системы (2.21.4) отличен от нуля (в противном случае векторы 
были бы линейно зависимы, а теорема очевидна).
Формулы Крамера
,
при любом 
показывают, что в условии (2.21.3) не все равны нулю и, следовательно, любые векторы 
являются линейно зависимыми. Что и требовалось доказать.