Абсолютна систематична похибка

D_c = I_вим-I_іст = - I_вим * r_а / (R + r) (4.2.7)

_. (4.2.8)

При обмеженому числі спостережень є випадковою величиною.

Характеристикою розсіювання щодо істинного значення величини Х_іст є оцінка середнього квадратичного відхилення результату вимірювання:

, (4.2.9)

де n – кількість спостережень;

- випадкове відхилення результату спостереження;

- (4.2.10)

оцінка середнього квадратичного відхилення результату спостереження.

 

При обмеженій кількості спостережень оцінки (9) та (10) (для n ≥ 2) є випадковими величинами, вони характеризують випадкові похибки результату вимірювання та результату спостереження відповідно. Ці оцінки мають тільки позитивні значення, тому що є числовими параметрами закону розподілу випадкової величини Х.

При зменшені числа спостережень оцінки (9) і (10) збільшуються.

При збільшенні – оцінка (10) наближається до генерального значення СКВ результату спостереження , а оцінка (9) – до нуля.

Для виключення систематичних похибок (зміщення оцінок) (9) і (10) вводять поправочний множник М_К, який залежить від числа спостережень і визначається за таблицею 1.

Табл.1

Значення коефіцієнта М_К

К	МК	К	МК	К	МК
	1, 253		1, 025		1, 013
	1, 128		1, 023		1, 013
	1, 085		1, 021		1, 010
	1, 064		1, 019		1, 008
	1, 051		1, 018		1, 007
	1, 042		1, 017		1, 006
	1, 036		1, 016		1, 006
	1, 032		1, 015		1, 005
	1, 028		1, 014		1, 004

 

Завдяки використанню масиву експериментальних даних при обчисленні результату вимірювання точність визначення вимірюваної величини підвищується в раз, що відображено на рис. 2

На рис. 2 показаний випадок, коли результат багаторазового вимірювання підлягає нормальному закону розподілу ймовірності.

Наявність масиву експериментальних даних дозволяє отримати апостеріорну інформацію про закон розподілу ймовірності результату вимірювання. Тобто, може бути поставлена задача його визначення.

Іншою можливістю є визначення та виключення помилок згідно з правилом «3 s».

Специфічною особливістю багаторазового вимірювання є можливість ефективного використання апостеріорної вимірювальної інформації.

 

рис.2

 

Виконання багаторазового вимірювання з рівноточними значеннями відліків показів проводять у наступному порядку:

 

1. Аналіз апріорної інформації, визначення поправок С_і.

2. Одержання n незалежних значень відліків x_і.

3. Внесення поправок та отримання Х_і = х_і + С_і (виключення систематичних похибок).

4. Оцінка середнього значення

5. Визначення залишкових похибок .

6. Перевірка умови

. (4.2.11)

7. Оцінка СКВ результату спостереження s_Х за виразом

(4.2.10)

8. Перевірка та виключення грубих помилок:

. (4.2.12)

Якщо грубі похибки виявлені, то з масиву спостережень результати з грубими похибками виключаються і повторюються пункти 4-7.

9. Визначення СКВ результату вимірювання .

10. Вибір довірчої ймовірності Р та визначення t_S - коефіцієнта Стьюдента.

11. Розрахунок половини довірчого інтервалу

. (4.2.13)

12. Визначення границь, в яких знаходиться значення вимірювальної величини

. (4.2.14)

Приклад 2.1.

Визначити довірчі межі похибки результату вимірювання ємності конденсатора, якщо n = 15. Результати спостережень наведені в табл.2.

 

 

Табл.2

Номер спостереження, n	Результат спостереження Сі, пФ	Випадкове відхилення, ∆ С = ( - Сі), пФ	∆ С2 , пФ2
		- 4, 8	23, 04
		+ 4, 2	17, 64
		+10, 2	104, 04
		- 2, 8	7, 84
		- 0, 8	0, 64
		+ 7, 2	51, 84
		+ 8, 2	67, 24
		- 6, 8	46, 24
		+ 5, 2	27, 04
		+ 2, 2	4, 84
		+ 1, 2	1, 44
		- 1, 8	3, 24
		- 3, 8	14, 44
		- 7, 8	60, 84
		- 9, 8	96, 04
	= 798, 8 пФ

 

1. Визначаємо середнє арифметичне значення:

ПФ.

2. Обчислюємо оцінку середнього квадратичного відхилення результату спостереження:

.

3. Перевіряємо відсутність грубих похибок.

4. Обчислюємо оцінку середнього квадратичного відхилення результату вимірювання:

.

5. Задаємося довірчою ймовірністю P = 0, 95 і за табл. 3 для n = 15 знаходимо коефіцієнт Стьюдента. t_s = 2, 14

Табл. 3

n	P=0, 95	P =0, 99	n	P =0, 95	P =0, 99
	4, 30	9, 92		2, 14	2, 98
	3, 18	5, 84		2, 13	2, 95
	2, 77	4, 60		2, 12	2, 92
	2, 57	4, 03		2, 11	2, 90
	2, 45	3, 71		2, 10	2, 88
	2, 36	3, 50		2, 09	2, 86
	2, 31	3, 36		2, 07	2, 82
	2, 26	3, 25		2, 06	2, 80
	2, 23	3, 17		2, 06	2, 78
	2, 20	3, 11		2, 048	2, 76
	2, 18	3, 06		2, 043	2, 75
	2, 16	3, 01	∞	1, 96	2, 57

 

6. Обчислюємо значення довірчої похибки:

.

7. Записуємо результат вимірювання відповідно з ГОСТ 8.010 -72:

С = (799 ± 3) пФ, P = 0, 95.

Тобто, істине значення ємності конденсатора з імовірністю P = 0, 95 знаходиться від 795 пФ до 803 пФ.

б) Одноразові вимірювання.

Переважна більшість вимірювань - одноразові. У звичайних умовах їх точність цілком допустима, а простота, висока продуктивність та низька вартість ставлять їх на перше місце.

Багато людей до кінця свого життя залишаються знайомими лише з одноразовими вимірюваннями.

Результат одноразового вимірювання описується виразом

Х = х + С,

де: х - показ приладу

С – поправка.

Відлік, згідно з основним постулатом метрології, є випадковим числом. Тому вже на етапі отримання відліку виникає дефіцит вимірювальної інформації, який може бути поповнений тільки за рахунок апріорних відомостей.

Таким чином, необхідною умовою проведення одноразового вимірювання є наявність апріорної інформації. До неї належать, наприклад, інформація про вид закону розподілу ймовірності показів та міри розсіяння, яка отримується із досліду попередніх вимірювань. Якщо її немає, то використовується інформація про те, на скільки значення вимірювальної величини може відрізнятися від результату одноразового вимірювання. Така інформація буває представлена класом точності засобу вимірювання. До апріорної інформації належить інформація про значення адитивної або мультиплікативної поправки. Якщо вони не відомі, то це враховується ситуаційною моделлю, згідно з якою з однаковою імовірністю, наприклад, значення поправки може бути довільним в межах від С min до С max. Без апріорної інформації виконування одноразового вимірювання безглузде.

Кінцевою метою вимірювального експерименту є отримання достовірної кількісної інформації про значення вимірювальної величини Х_іст.

Порядок дій під час одноразового вимірювання такий:

1. Аналіз апріорної інформації, визначення поправки С.

2. Отримання єдиного значення відліку х.

3. Присвоєння відліку х значення показу Х = х[Q].

4. Внесення в показ поправки й отримання результату одноразового виміру Х = х + С.

5. Визначення максимально можливого відхилення Є результату одноразового вимірювання Х від значення вимірювальної величини Х_іст.

6. Визначення меж, в яких знаходиться значення вимірювальної величини Х - Є < Х_іст < Х + Є

В процесі аналізу:

1. Визначається фізична суть явища, що вивчається.

2. Уточнюється його модель.

3. Визначаються впливові фактори й заходи, які направлені на зменшення їх впливу.

4. Визначаються значення поправок.

5. Приймається рішення щодо використання тієї чи іншої методики вимірювання.

6. Вибирається засіб вимірювання.

7. Вивчаються його метрологічні характеристики.

Для оцінки випадкової похибки одноразового вимірювання визначають верхню Х вта нижню Х нмежі інтервалу, який із заданою імовірністю P накриває випадкове відхилення результату спостереження:

_

∆ _x = x_і -X,

тобто знаходять довірчий інтервал, зображений на рис. 3, який накриває з заданою імовірністю P істинне значення вимірювальної величини Х_іст.

Математично це може бути записано у вигляді

Х_іст = x_і ± ∆ _х; P =... (4.2.15)

Рис 3.

Для результатів спостереження з симетричним законом розподілу

∆ _{x, н} = ∆ _{x, в} = ∆ _х

Значення ∆ _х називають довірчим відхиленням. Згідно з виразом визначення довірчих границь похибок ,

де К - коефіцієнт, який визначається прийнятою ймовірністю та законом розподілу випадкової похибки результату спостереження.

Так як при одному спостереженні обчислити оцінку σ _х не можна, то визначення довірчих межі випадкового відхилення результату спостереження (довірчих відхилень) можливе тільки у випадку, коли відомо значення σ _х із необхідною точністю.

Наприклад, метод вимірювання та спосіб вимірювання попередньо вивчені й відомо, що значення σ _х отримане після обробки достатньо великого числа спостережень n, а одноразове вимірювання проводиться при тих же умовах, при яких була визначена оцінка σ _х, або відомості про числове значення середнього квадратичного відхилення результату спостереження взяті з нормативно-технічної документації засобу вимірювання, яке застосовується.

Коли значення оцінки σ _х відомо досить точно (наприклад при n > 30), для знаходження приблизного значення коефіцієнта К треба визначити належність результатів спостереження до відповідного закону розподілу. Це можна зробити використавши апріорні дані про фактори, які обумовлюють появлення випадкових похибок. Тоді із таблиці стандартних апроксимацій функцій розподілу за визначеним законом розподілу знаходять коефіцієнт К, який відповідає довірчій імовірності P = 1.

Коли довірча ймовірність P не дорівнює одиниці, то значення К для визначеного закону розподілу можна визначити згідно з графіками, представленими на рис.4, де цифрами позначені розподіли: 1 - рівномірний; 2 - трикутний; 3 - трапецевидний; 4 - нормальний.

Рис.4

Так як в більшості випадків результати спостереження належать до нормального розподілення, то для визначення ∆ _х можна використати квантілі нормованого нормального розподілу, приведені в табл. 3

Приклад 2.2. Визначити чи підходить метод (використаний в прикладі для багаторазового вимірювання) для одноразового вимірювання ємності конденсатора з відносною похибкою 2% при довірчій імовірності P = 0, 95.

1. Передбачаючи, що закон розподілу нормальний, використаємо апріорні відомості про те, що σ _х = 6 пФ отримане під час обробки 15 спостережень.

Тоді при P = 0, 95 при n = 15 по табл. 2 знаходимо K = t_s = 2, 14 розрахуємо довірче відхилення:

∆ _c = K σ _c = t_s σ _c = 2, 14 * 6 = 13 пФ.

2. Обчислюємо відносну похибку одноразового вимірювання:

.

Висновок: Отримана при обчисленнях відносна похибка менша від заданої. Тобто. метод вимірювання придатний для заданих умов.

Табл.3