Межі середнього квадратичного відхилення

Оцінка середнього квадратичного відхилення результату спостереження , обчислена згідно формулою [10], є випадкова величина, так як вона визначена із вибірки обмеженого обсягу. Для оцінки міри розсіяння відносно істинного значення σ _х визначають верхню σ _в та нижню σ _н границі інтервалу, в якому із заданою ймовірністю P знаходиться істинне значення σ _х. Для випадку, коли випадкова похибка результату спостереження розподілена по нормальному закону, довірчі межі σ _х можуть бути знайдені за допомогою розподілу χ ².

Приведемо вираз для випадкової величини χ ² до виду:

. (4.2.16)

Вираз встановлює зв'язок між дисперсією середнього квадратичного відхилення результату спостереження σ ²_х, її оцінки та числом спостережень, під час яких вона визначена.

Із [16] отримуємо

, (4.2.17)

де - коефіцієнт, який визначається заданою довірчою ймовірністю.

Так як шільність імовірності розподілу χ ² залежить від числа спостережень, а криві розподілу χ ² мають при малому числі спостережень несиметричний вид, то для знаходження довірчих границь σ _в та σ _н знаходять два коефіцієнти:

(4.2.18)

із табульованих значень (табл. 4) цієї залежності.

А вираз для визначення довірчих меж випадкового відхилення результату спостереження буде мати вид:

; Р =….. (4.2.19)

Табл. 4

Коефіцієнти χ ² розподілення

Приклад 2.3. Визначити довірчі межі інтервалу, в якому з імовірністю P = 0, 95 знаходиться істинне значення середнього квадратичного відхилення результату спостереження, якщо його оцінка знайдена із обробки - 15 спостережень (приклад 1) σ _с = 6 пФ.

1. Згідно з табл.4 для P = 0, 95 і n = 15 знаходимо K = 0, 73 та K = 1, 6.

2. Відповідно до формули [19] визначаємо довірчі межі:

0, 73* 6 < σ _с < 1, 6 * 6

4 < σ _с < 10 пФ; P = 0, 95.

Випадкові похибки прямих вимірювань. Числові характеристики випадкових похибок Розглянемо оцінки числових характеристик із положеннями, приведеними в розглянутих попередніх питаннях

Оцінки числових характеристик законів розподілу ймовірності випадкових чисел або величин, які відображені точками називаються точковими. У відміні від числових характеристик оцінки є випадковими. При тому їх значення залежить від обсягу даних, а закони розподілу ймовірності - від законів розподілу ймовірності самих випадкових величин.

Розглянемо визначення числових характеристик випадкових похибок на прикладі:

Приклад 2.4.

15 незалежних значень результату вимірювання температури за шкалою Цельсія приведені в другій графі таблиці 5.

Табл. 5

Чи немає помилок під час їх отримання?

Рішення:

1) Середнє арифметичне результату вимірювань:

t₁₅ = 20, 404 С^О

2) Визначимо стандартне відхилення (результати допоміжних обчислень в графах три та чотири):

σ _t = 0, 033 С^О2.

3) Більше ніж на 3σ _t = 0, 099 від середнього арифметичного відмінне восьме значення. Тобто воно є помилковим і повинно бути відкинуте.

4) Без восьмого значення -

t₁₄ = 20, 411 С^О.

5) Результат проміжних обчислень в 5 та 6 графах -

σ _t = 0, 16

6) Не одне із значень, що залишились, не відрізняється від середнього арифметичного більше, ніж на 3σ _t = 0, 048.

Порядок та методика виконання прямих вимірювань із багаторазовими незалежними спостереженнями, обробка результатів спостережень й оцінка їх похибок регламентується ГОСТ 8.207 - 76.

Під час статистичної обробки результатів спостережень виконуються операції:

1) виключення відомих статистичних похибок із результатів спостережень, після чого такі результати називаються виправленими результатами спостережень.

2) обчислення:

2.1) середнього арифметичного виправлених результатів спостережень, які приймаються за результат вимірювання;

2.2) оцінки середнього квадратичного відхилення результату вимірювання;

2.3) оцінки довірчих меж випадкової складової похибки;

2.4) невиключеної систематичної похибки;

2.5) похибки результату вимірювання.

Таким чином ми розглянули механізм проведення вимірювань та обробки результатів вимірювань, розглянули декілька практичних завдань обробки.

4.3. Похибки непрямого вимірювання

4.3.1. Випадкові похибки непрямого вимірювання

При непрямих вимірюваннях значення величини, яку знаходять, отримують на основі відомої залежності. Вона пов‘язує цю величину з іншими величинами, які отримані прямими вимірюваннями.

Спочатку розглянемо простіший випадок, коли шукана величина Q_z визначається як сума двох величин Q_x і Q_y:

Q_Z = Q_X + Q_Y. (4.3.1)

Так як результат прямих вимірювань величин Q_x і Q_y (після виключення систематичних похибок) включають в себе деякі випадкові похибки, то формулу непрямого вимірювання суми можна записати у вигляді:

, (4.3.2)

де: , - середні арифметичні, отримані при обробці результатів прямих вимірювань величин Q_x і Q_y;

- оцінка істинного значення непрямої вимірюваної величини і його випадкова похибка.

Із рівняння (2) безпосередньо витікає справедливість двох наступних рівнянь:

; (4.3.3)

або, іншими словами, оцінкою істинного значення непрямої вимірюваної величини повинна бути сума оцінок істинних значень вихідних величин, випадкові похибки яких складаються.

Математичне очікування оцінки Z дорівнює, очевидно, істинному значенню шуканої величини:

, (4.3.4)

а її СКВ обчислюється:

(4.3.5)

Математичне очікування добутку випадкових похибок, яке входить в вираз (5), називається кореляційним моментом і визначає ступінь “ тісноти” лінійної залежності між похибками. Замість кореляційного моменту, часто використовують безрозмірну величину, яка називається коефіцієнтом кореляції:

. (4.3.6)

Звідси можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції між похибками середніх арифметичних дорівнює коефіцієнту кореляції між похибками δ _X і δ _Y результатів окремих вимірювань величин Q_X і Q_Y:

. (4.3.7)

З урахуванням коефіцієнта кореляції дисперсія результату дорівнює:

(4.3.8)

При позитивній кореляції, тобто коли r > 0, одна з похибок має тенденцію зростати при зростанні другої. Якщо кореляція негативна, то r < 0 і похибка однієї величин зменшується при збільшенні похибки XY вимірювання іншої величини.

При наявності кореляції можна робити висновок за допомогою графіка, на якому в координатах X, Y зображені пари послідовно отриманих результатів вимірювання величин Q і Q.

а) б) в)

Рис.1

На рис.1 зображені випадки сумісного розподілу результатів вимірювання при позитивній (рис.1а) і негативній (рис.1б) кореляції. Результати вимірювань на рис.1в некорельовані.

Частіше за все наявності кореляції слід очікувати в тих випадках, коли обидві величини вимірюються одночасно однотипними вимірювальними приладами. При цьому невловимі зміни зовнішніх дій ( електричних, магнітних, температурних та інших полів, умов живлення та інше) разом помітно впливають на формування випадкових похибок їх вимірювання. Наприклад, смугу пропускання контуру находять як різницю двох частот П = f₁ - f₂ резонансну частоту контуру визначають методом “вилки“ і т.д. Відліки при таких вимірюваннях роблять один за одним через невеликі проміжки часу, тому очікують, що вплив ряду факторів на результати вимірювання будуть майже однаковими. При визначенні різниці результату прямих вимірювань частина похибок, яка визначається цими факторами, компенсуються. Залишаються похибки, які визначаються тими факторами, які між спостереженнями встигли трохи зміниться.

В деяких випадках причиною кореляції між результатами вимірювань може стати сам оператор, так як при деяких дослідженнях, які пов’язані з ручним врівноваженням приладів порівняння (наприклад, порівняння мір на точних вагах, в фотометрії) досвід спостерігача має значний вплив на результати вимірювань.

У тих випадках, коли початкові величини вимірюють за допомогою різних засобів в різний час, можна з повною впевненістю очікувати, що результати вимірювань будуть корельовано малі. У цьому випадку коефіцієнтом кореляції можна знехтувати.

4.3.2. Оцінювання випадкової складової похибки непрямих вимірювань

У загальному виді при непрямих вимірюваннях на основі відомої залежності:

, (4.3.9)

між вимірювальною величиною Y та величинами (аргументами) A₁, A₂,.., A_m, які знаходяться прямими вимірюваннями, лежить шукане значення величини Y.

Результати прямих вимірювань A₁, A₂,.., A_m мають випадкові похибки.

Тому і величина Y розглядається як функція m - випадкових аргументів.

Розглянемо методику оцінювання випадкової похибки результату непрямого вимірювання. Проведемо n спостережень усіх аргументів функції (9) і одержимо m - груп спостережень:

(4.3.10)

Вираз (10) називають матрицею спостережень.

Нехай (10), отримані в умовах, коли їх можна вважати рівноточними; систематичні та грубі похибки відсутні (тобто мають місце тільки випадкові аргументи); результати спостережень кожного із аргументів - незалежні.

У результаті обробки n спостережень кожного аргумента функції (9) обчислюють середнє арифметичне значення аргументів , де

, (4.3.11)

середнє квадратичне відхилення результату спостереження кожного аргументу , де

(4.3.12)

середнє квадратичне відхилення результатів прямих вимірювань аргумента , де

. (4.3.13)

Як оцінку результату непрямого вимірювання приймають значення, яке отримане підстановкою в (9) середніх арифметичних значень аргументів:

. (4.3.14)

Оцінимо випадкову похибку результату непрямого вимірювання.

При цьому розглянемо два характерних випадки: