Теоретичні відомості. Нехай задана система точок: , при цьому

Нехай задана система точок: , при цьому . Надалі ці точки будемо називати вузлами інтерполяції.

Задача інтерполяції полягає в побудові деякої функції , графік якої проходить через вузли інтерполяції, тобто для будь-якого маємо . Така функція називається інтерполяційною, для заданого набору вузлів.

Найпростішим серед можливих інтерполяційних функцій є інтерполяційний многочлен, зокрема, многочлен Лагранжа:

. (1)

Якщо многочлен Лагранжа будується один для всієї системи точок, то таку інтерполяцію будемо називати глобальною.

Досить часто для кожної пари точок , будують лінійні інтерполяційні поліноми:

, (2)

де .

В багатьох наближених обчисленнях (наприклад, формула Сімпсона, при обчислені інтегралів) використовують також квадратичну інтерполяцію. Для цього область інтерполювання необхідно поділити на парне число відрізків.

Беремо три вузли інтерполяції , де :

(3)

Інтерполяцію за формулами (2), (3) називають, відповідно, локальною лінійною та локальною квадратичною інтерполяцією.

Індивідуальне завдання

Для функцій, заданих в таблиці 1, побудувати графік (для цього можна використати пакети MathCad, Maple). Інтервал інтерполювання для змінної підібрати так, щоб на ньому функція мала один максимум та один мінімум. Обчислити координати шести характерних точок, які лежать на графіку функції (за ці точки краще взяти кінці відрізка інтерполювання, точку максимуму, мінімуму та перегибу). Взяти ці точки за вузли інтерполяції.

Скласти програму, що реалізує:

1) глобальну інтерполяцію;

2) локальну лінійну інтерполяцію;

3) локальну квадратичну інтерполяцію;

4) побудувати сумісно графіки заданої функції та трьох видів інтерполяції;

5) для довільно вибраної точки , яка не співпадає з вузлами інтерполяції для кожного виду інтерполяції передбачити обчислення відносної похибки за формулою:

(4)

Зробити висновки.

Таблиця 1 – Варіанти завдань

№ варіанту	Функція	№ варіанту	Функція