![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретичні відомості. Задача Коші для диференційного рівняння першого порядку має вигляд:
Задача Коші для диференційного рівняння першого порядку має вигляд:
Розв’язати диференційне рівняння (1), це значить знайти на відрізку Типи рівнянь, для яких можна знайти точне рішення охоплюють невелику частину задач, які виникають на практиці. Тому потрібні чисельні методи розв’язку задачі Коші (1). Загальний підхід чисельного розв’язку диференційних рівнянь, це розбити відрізок (А): Метод Ейлера На частинному відрізку
Формула (2) описує реалізацію методу Ейлера. Цей метод має перший порядок точності (порядок апроксимації). Його похибка дорівнює (Б): Полагоджений метод Ейлера В практичних обчисленнях частіше застосовується модифікований метод Ейлера. На частинному відрізку
При програмуванні краще використовувати більш поетапну модифікацію цієї формули:
Метод має другий порядок точності, його помилка апроксимації дорівнює (В): Модифікований метод Ейлера У модифікованому методі похідну на частинному відрізку
Цей метод також має другий порядок точності з помилкою апроксимації (Г): Метод Рунге-Кутта четвертого порядку На практиці найбільш часто використовують саме цей метод, що описується системою співвідношень:
Помилка апроксимації методу Оцінка похибки чисельних методів розв’язку диференційних рівнянь Слід відзначити: наближеним рішенням є функція, яка задана множиною точок Для практичної оцінки похибки в точці
де Для методу Ейлера
Для полагодженого та модифікованого методів Ейлера
Для методу Рунге-Кутта
Знайти наближене рішення з заданою точністю
На практиці діють одним з двох способів. 1 Забезпечення точності з постійним кроком ( Вибирають деякий досить малий крок Якщо умова (9) не виконується, то за нове 2 Забезпечення точності з автоматичним вибором кроку( Вибирають деякий досить малий крок
(правило трьох зон).
Якщо невдалим був вже перший крок, то його зменшують (перший крок повинен завжди бути вдалим). Індивідуальні завдання Розв’язати запропонованим чисельним методом задачу Коші:
На відрізку
Таблиця 6 – Варіанти завдань
Продовження таблиці 6
|