![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретичні відомості. Чисельні методи обчислення визначеного інтегралу ґрунтуються на його визначенні та геометричній інтерпретації
Чисельні методи обчислення визначеного інтегралу ґрунтуються на його визначенні та геометричній інтерпретації. З геометричної точки зору визначений інтеграл є площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції Розділимо відрізок
Тоді координати кінців відрізків поділу визначаються за формулою:
де Найпростіші чисельні методи наближеного обчислення визначеного інтегралу це метод лівих прямокутників та метод правих прямокутників. (А): Метод лівих прямокутників одержуємо, коли площу кожної Розрахункова формула має вигляд:
Для організації циклу, краще використати її аналог
(Б): Метод правих прямокутників одержуємо коли площу кожної Розрахункова формула має вигляд:
Для організації циклу краще використати її аналог
(В): Метод трапецій. Маємо площу кожної Розрахункова формула має вигляду:
Для організації циклу краще використовувати її аналог
Зауваження: якщо врахувати результати лабораторної роботи 1, то формулу трапеції ми одержуємо заміною функції (Г): Метод парабол (формула Сімпсона). Більш висока точність обчислення інтегралів забезпечується при виконанні кусочно-парабалічної інтерпретації підінтегральної функції
При цьому беремо три точки (вузли інтерполяції). Почнемо з
Беремо наступну пару відрізків
Продовжуючи обчислення, знайдемо наближено інтеграл над останньою парою відрізків
Шукане наближення значення інтегралу на відрізку
Після деяких перетворень одержимо формулу Сімпсона
Більш зручною для програмування є формула
Оцінка похибки Похибкою чисельного методу (зокрема обчислення інтегралу) є Оцінкою похибки називають досить мале число Зрозуміло, що похибка залежить від точності чисельного методу та від числа частинних відрізків Доведено, що похибка методів лівих та правих прямокутників пропорційна Похибка методу трапеції Похибка методу Сімпсона Ці похибки відповідно називають похибками нульового, першого, другого та третього порядку. Звичайно відрізок Існують більш складні, але більш конкретні оцінки похибки, а саме: - для методу трапецій
де - для методу Сімпсона
де На практиці часто для досягнення заданої точності використовують метод подвійних перерахунків. Обчислення інтегралу починають для невеликих
Індивідуальні завдання: 1) Обчислити інтеграл запропонованими двома методами (табл. 2). 2) Забезпечити в першому методі заданий порядок похибки. 3) В другому методі забезпечити задану оцінку похибки. 4) Порівняти результати.
Таблиця 2 – Варіанти завдань
Продовження таблиці 2
Продовження таблиці 2
|