Чисельний розв’язок системи лінійних рівнянь

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими:

. (10)

або в матричному вигляді:

.

З курсу вищої математики відомо, що необхідною і достатньою умовою розв’язку системи (10) є умова:

. (11)

Якщо умова (11) виконана, то система (10) розв’язується точно, причому існує декілька методів такого розв’язку (метод Крамера, метод Гауса, матричний метод та інші).

Недоліком є те, що точний розв’язок можна одержати лише для систем, в яких кількість рівнянь невелика. Якщо кількість рівнянь велика, то поряд з технічними труднощами, виникають похибки обчислень, і отримується по суті наближене рішення.

Будемо розв’язувати лінійну систему алгебраїчних рівнянь (10) наближено. Так як лінійна система є частковим випадком нелінійної, то до неї можна застосовувати запропоновані вище методи простої ітерації та метод Зейделя.

(АЛ): Метод простої ітерації для системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Приведемо систему до вигляду:

.

Запишемо детально цю систему для трьох рівнянь:

. (12)

Метод простої ітерації для системи (12) має вигляд:

(13)

За початкове наближення можна взяти будь-яку точку, але звичайно беруть:

. (14)

(БЛ): Метод Зейделя для системи лінійних рівнянь

Метод Зейделя для системи(12) має вигляд:

(15)

За початкову умову також можна взяти (14).

Для системи (10) методи простої ітерації та Зейделя збігаються при виконанні умови:

. (16)

тобто модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів цього рівняння.

Для системи лінійних рівнянь у вигляді (12) достатньою умовою збіжності є одна з умов:

(17)

Якщо система в вигляді (10) не задовольняє умові збіжності, то її можна привести до еквівалентної системи рівнянь, що буде задовольняти умові збіжності. Це роблять шляхом додавання та віднімання рівнянь системи.

Приклад. Дана система рівнянь:

.

Привести систему до вигляду, в якому елементи головної діагоналі були б більші за модулем інших елементів (умова 16).

Зробимо перетворення.

Тепер можна застосовувати методи (АЛ) та (БЛ).

Індивідуальні завдання

Запропонованим методом розв’язати систему нелінійних рівнянь (табл. 4), обравши в якості початкового наближення точку . За точність обчислень виберіть . Зробіть перевірку. Спробуйте змінити початкову умову та знайти інше рішення системи.

Таблиця 4 – Варіанти завдань

Номер варіанту	Система рівнянь	Початкова точка	Умова досягнення точності	Метод
		(-0, 9; 1, 4)		А
		(1; 1)		Б
		(1; 1)		Б
		(0; 0)		Б
		(0; 0)		А
		(0; 0)		Б
		(0; 0)		Б

Продовження таблиці 4

		(0, 9; 1, 4)		Б
		(0; 0)		А
		(1; 1)		А
		(-0, 5; 0, 5)		А
		(-1; 1)		Б
		(0; 0)		А
		(0; 0)		А
		(0; 0)		Б
		(0; 0)		Б
		(0; 0)		А
		(-1; 1)		А
		(-0, 9; -1, 4)		А
		(0, 5; -1, 5)		Б
		(0, 5; 1, 5)		А
		(2; 2)		А
		(1, 5; 0, 5)		Б
		(-2; 2)		Б

Продовження таблиці 4

		(0; 1)		Б