Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретичні відомості. В звичайних диференційних рівняннях невідома функція залежить від однієї змінної
В звичайних диференційних рівняннях невідома функція залежить від однієї змінної. Такими рівняннями можна описати лише невелику кількість процесів з фізики та інших наук. В більшості диференційних рівнянь невідома функція залежить від багатьох змінних (звичайно це час та просторові координати ). Такі диференційні рівняння будемо називати рівняннями з частинними похідними. Найчастіше, це рівняння другого порядку, так як згідно з законами механіки перша похідна – швидкість, друга – прискорення. Позначимо , тоді лінійне диференційне рівняння з частинними похідними другого порядку можна записати у вигляді (1) де – константи; – невідома функція. Рівняння виду (1) підрозділяють на три класи: 1) Якщо , то рівняння належить до класу еліптичних рівнянь. Еліптичними рівняннями описують різноманітні електричні, магнітні та гравітаційні поля (в цьому випадку, звичайно, замість застосовують позначення ). 2) Якщо , то рівняння належить до класу гіперболічних рівнянь. Гіперболічними рівняннями описують процеси коливань. 3) Якщо , то рівняння належить до класу параболічних рівнянь. Параболічними рівняннями описують процеси розповсюдження тепла (теплопровідності) та дифузійні процеси. Найбільш розповсюдженим методом розв’язку диференційних рівнянь з частинними похідними є метод сіток. Сутність методу сіток полягає у тому, що область, в якій шукають рішення прямими, котрі паралельні осям координат, розбивають на сітку. Вузлами цієї сітки є точки , де – відповідно крок по осям та , . Невідому функцію відшукують наближено у вузлах сітки. Позначимо . Частинні похідні у вузлах сітки замінюють кінцево-різницевими співвідношеннями ; ; ; . (2) Зупинимось більш детально на методі сіток для розв’язання гіперболічного рівняння коливань струни. Розглянемо фізичну задачу. Є струна довжиною , натягнута між двома точками осі . Якщо відхилити струну від положення рівноваги та відпустити, то вона почне коливатися (рис. 1). Ми опишемо процес коливань, коли знайдемо функцію величини відхилення струни від положення рівноваги в точці в момент часу . Рисунок 1 – Коливання струни Відхилення струни описується диференційним рівнянням . Постійна враховує фізичні характеристики струни. Заміною змінних ми можемо досягти виконання умови . Для однозначного задання процесу коливань потрібно задати граничні умови, які задають режим коливань на кінцях струни, початкові умови, що задають форму струни в момент часу та початкову швидкість. Така задача називається змішаною крайовою задачею. В загальній постановці крайова задача має вигляд: ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . (7) (4-5) – граничні умови, (6-7) – початкові умови. Таким чином область, де шукаємо рішення є напівсмуга . Зрозуміло, що повинні виконуватись умови узгодження: . Замінимо задачу (3-7) її кінцево-різницевим аналогом: ; (3/) (4/) (5/) (6/) . (7/) Таким чином умови (4/-6/) задають значення функції на кордоні області . За допомогою умови (7/) відшукуємо значення в першому прошарку . Таким чином значення функцій на нульовому та першому прошарку відомі. Позначимо і приведемо рівняння (3/) до вигляду: (8) Для спрощення користування формулою (8) використовуємо трафарет (рис. 2). За допомогою (8) (трафарету) (рис. 2), спираючись на відомі значення функції у вузлах сітки на попередніх двох прошарках, знаходимо значення у вузлах наступного прошарку. Рішення різницевої задачі (3/-7/) рівномірно сходиться до рішення вихідної крайової задачі (3-7) при , якщо , тобто .
Рисунок 2 - Трафарет
Ця умова є достатньою для збіжності методу, але не є необхідною. Індивідуальні завдання Використовуючи метод сіток знайти функцію у вузлах сітки, яка є чисельним розв’язком змішаної крайової задачі для рівняння коливань струни: ; – гранична умова; – гранична умова; – початкова умова; – початкова умова. В області , вибираючи відповідні дані з таблиці 9. Побудувати: 1) форму струни в момент часу ; 2) графіки положення точок струни для .
Таблиця 8 – Варіанти завдань
Продовження таблиці 8
|