![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретичні відомості. В звичайних диференційних рівняннях невідома функція залежить від однієї змінної
В звичайних диференційних рівняннях невідома функція В більшості диференційних рівнянь невідома функція Найчастіше, це рівняння другого порядку, так як згідно з законами механіки перша похідна – швидкість, друга – прискорення. Позначимо
де
Рівняння виду (1) підрозділяють на три класи: 1) Якщо Еліптичними рівняннями описують різноманітні електричні, магнітні та гравітаційні поля (в цьому випадку, звичайно, замість 2) Якщо Гіперболічними рівняннями описують процеси коливань. 3) Якщо Параболічними рівняннями описують процеси розповсюдження тепла (теплопровідності) та дифузійні процеси. Найбільш розповсюдженим методом розв’язку диференційних рівнянь з частинними похідними є метод сіток. Сутність методу сіток полягає у тому, що область, в якій шукають рішення прямими, котрі паралельні осям координат, розбивають на сітку. Вузлами цієї сітки є точки Невідому функцію Позначимо Частинні похідні у вузлах сітки замінюють кінцево-різницевими співвідношеннями
Зупинимось більш детально на методі сіток для розв’язання гіперболічного рівняння коливань струни. Розглянемо фізичну задачу. Є струна довжиною Рисунок 1 – Коливання струни Відхилення струни
Постійна В загальній постановці крайова задача має вигляд:
(4-5) – граничні умови, (6-7) – початкові умови. Таким чином область, де шукаємо рішення є напівсмуга
Замінимо задачу (3-7) її кінцево-різницевим аналогом:
Таким чином умови (4/-6/) задають значення функції За допомогою умови (7/) відшукуємо значення в першому прошарку
Таким чином значення функцій на нульовому та першому прошарку відомі. Позначимо
Для спрощення користування формулою (8) використовуємо трафарет (рис. 2). За допомогою (8) (трафарету) (рис. 2), спираючись на відомі значення функції у вузлах сітки на попередніх двох прошарках, знаходимо значення у вузлах наступного прошарку. Рішення різницевої задачі (3/-7/) рівномірно сходиться до рішення вихідної крайової задачі (3-7) при
Рисунок 2 - Трафарет
Ця умова є достатньою для збіжності методу, але не є необхідною. Індивідуальні завдання Використовуючи метод сіток знайти функцію
В області Побудувати: 1) форму струни в момент часу 2) графіки положення точок струни для
Таблиця 8 – Варіанти завдань
Продовження таблиці 8
|