Теоретичні відомості. Будь-яке рівняння з одним невідомим можна записати у вигляді .

Будь-яке рівняння з одним невідомим можна записати у вигляді .

Розв’язком рівняння називається таке значення (корінь рівняння), при якому . Звичайно точне знаходження коренів рівняння неможливе крім деяких спеціальних випадків, які вивчались у школі (лінійні, квадратичні рівняння та рівняння, що зводяться до них).

Задача знаходження наближеного значення кореня розпадається на два етапи:

1 Відокремлення коренів.

2 Уточнення кореня.

Відокремлення коренів – це знаходження відрізка, на якому лежить цей і тільки цей корінь рівняння.

Для відокремлення коренів корисні дві теореми з математичного аналізу.

Теорема 1. Якщо функція безперервна на відрізку та , то всередині відрізка існує по меншій мірі один корінь рівняння .

Теорема 2. Якщо функція безперервна на відрізку та на інтервалі зберігає знак, то всередині відрізка існує тільки один корінь рівняння .

Для відокремлення коренів використовують також графік функції . Коренями рівняння є ті значення, при яких графік функції перетинає вісь абсцис. Якщо побудова графіку функції викликає утруднення, то рівняння потрібно привести до вигляду таким чином, щоб графік функції та були достатньо простими. Абсциси точок перетину цих графіків і будуть коренями рівняння.

Уточнення кореня. Припустимо, що корінь рівняння відокремлено і він знаходиться на відрізку . Подальше уточнення кореня будемо знаходити одним із чисельних методів.

(А): Метод половинного ділення

Опис алгоритму.

Припустимо, що . Поділимо відрізок навпіл та знайдемо значення функції в точці . Може статись, що , тоді корінь рівняння знайдено. Якщо ж , то на кінцях одного з відрізків або функція буде приймати значення різних знаків. Позначимо цей відрізок через і відмітимо, що . Якщо , то будь-яка точка з інтервалу може бути прийнята за наближене значення кореня. Якщо ж , то приймається , і продовжується процес ділення відрізка навпіл. Через деяку скінчену кількість кроків отримується точне значення кореня або довжина відрізка стане менш . В останньому випадку за наближене значення кореня можна взяти будь-яку точку відрізка , часто беруть його середину.

(Б): Метод хорд

Опис алгоритму.

Припустимо, що та , на інтервалі зберігають знак, тобто графік функції монотонний та опуклий, тоді можна застосовувати метод хорд.

Отримаємо перше наближення. Проведемо через точки та пряму лінію (хорду), рівняння якої можна записати в вигляді:

.

Одержимо точку перетину хорди з віссю абсцис, припустимо :

. (1)

Далі можна вибрати один з двох варіантів побудови алгоритму пошуку кореня.

(Б1): Друге наближення розраховується за формулою (1) в залежності від того на кінцях якого з відрізків чи функція приймає значення різних знаків. Якщо , то приймемо , якщо ні – .

(Б2): Припустимо, що друга похідна на інтервалі має один знак. Тоді, якщо графік функції опуклий догори та лежить вище хорди. В цьому випадку точка перетину хорди з віссю абсцис знаходиться між коренем рівняння і тим кінцем відрізка , на якому значення функції додатне.

У випадку графік функції опуклий донизу і лежить нижче хорди. В цьому випадку точка перетину хорди з віссю абсцис знаходиться між кореням рівняння та тим кінцем відрізка на якому значення .

Таким чином маємо, що в будь-якому випадку наближене значення кореня лежить між точним його значенням і тим кінцем відрізка , в якому та протилежні.

Висновки: якщо відомо -не наближення кореня, то його -не наближення обчислюється за формулою:

(2)

у випадку , чи

(3)

у випадку .

Незалежно від того, за якою схемою (Б1) чи (Б2) будується алгоритм наближеного розв’язку рівняння, умовою закінчення обчислень (виходу з циклу) може бути одна з умов:

(4)

мінімізація нев’язки,

(5)

більш надійною умовою є:

. (6)

(В): Метод дотичних (метод Ньютона)

Нехай та зберігає знак на інтервалі . Проведемо дотичну до графіка функції на тому кінці відрізка , де знаки та співпадають. Рівняння дотичної має вигляд

, якщо ;

, якщо .

Знайдемо точку перетину дотичної з віссю абсцис. Приймемо , тоді

, якщо ;

, якщо .

Одержане значення приймемо за наближене значення кореня.

Наступні наближення обчислимо за формулою:

(7)

Обчислення повторюють до тих пір, доки не виконається одна з умов (4-6), в залежності від того, яку з них обрано за критерій виходу з циклу.

(Г): Комбінований метод

Нехай зберігає знак на інтервалі . Було показано, що уточнення кореня методом хорд та дотичних відбувається з різних сторін: один з недостачею, другий з надлишком. Комбінований метод полягає у послідовному застосуванні методу хорд та дотичних.

Якщо, наприклад, , то зліва застосовуємо метод дотичних

,

а праворуч

,

метод хорд.

Припустимо та , тоді отримаємо новий відрізок , довжина якого менш довжини попереднього. Обчислення повторюємо до тих пір, доки .

За наближене значення кореня беруть

- з недостачею;

- з надлишком,

або

- середнє значення.

(Д): Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

Замінимо рівняння еквівалентним йому рівнянням

. (8)

це можна зробити, наприклад, так:

, де – константа.

Припустимо, що обрано деяке початкове наближення до кореня рівняння (8).

Визначимо числову послідовність за формулою (задамо ітераційний процес):

. (9)

Теорема про нерухому точку. Якщо на відрізку , що містить точку та всі наступні наближення , буде виконуватись умова , то ітераційний процес сходиться до єдиного на відрізку кореня рівняння (8).

Іноді виконання умови збіжності вдається досягти вдалим вибором константи .

Вихід із циклу відбувається при виконання однієї з умов (4-6).

Зауваження. На практиці умову часто не перевіряють, а запускають ітераційний процес з заданим числом ітерацій, якщо сходимість не відбувається, то шукають рішення при іншому значенні константи , або взагалі змінюють метод пошуку кореня.

Індивідуальні завдання

1) Відділити корені запропонованого рівняння (табл. 3).

2) Якщо коренів декілька, то уточнити один із них з заданою точністю двома вказаними методами.

3) Порівняти результати, зробити перевірку.

Таблиця 3 – Варіанти завдань

№ варіанту	Рівняння	Метод	Умова виходу з циклу	Оцінка похибки .
		А Б1		0, 001
		А Б2		0, 01
		А В		0, 001
		Б1 Д		0, 0001
		Г Д		0, 01
		В Д		0, 001
		Б2 Д		0, 0001
		А Г		0, 01
		А Д		0, 001
		Г Д		0, 01
		А Д		0, 001
		Б1 Д		0, 01
		А Г		0, 001
		А В		0, 0001
		А Д		0, 001
		А Б2		0, 001
		Г Д		0, 01

Продовження таблиці 3

		А Б1		0, 001
		В Д		0, 001
		А Г		0, 0001
		А Г		0, 001
		А Б1		0, 001
		А Б2		0, 01
		А Д		0, 001
		А Д		0, 001