ЧАСТЬ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Лабораторная работа № 1

Метод последовательных приближений

1.1.1. Методические указания

Метод последовательных приближений для задачи Коши

(1.1)

заключается в замене ее на интегральное уравнение

.

Для его решения применяются последовательные приближения в виде итерационного процесса

(1.2)

Для численного процесса отрезок, на котором рассматривается решение, разбивается на участки с шагом h:

.

Для вычисления интегралов применяется кубатурная формула

, (i=1, 2, …m) (1.3)

где вычисляется по ,

m – количество отрезков разбиения заданного интервала.

Коэффициенты определяются из условия, чтобы формула была точной для полинома степени не выше m+1, и имеют различные значения при различном разбиении заданного интервала.

Для случая m=4, т.е. разбиение на 4 части, формулы для 4 точек имеют вид:

(1.4)

Последовательные приближения вычисляются по формулам

. (1.5)

Подстановки ; ; ; в правую часть (1.4) дают новое приближение . Производные вычисляются через , = .

1.1.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу метода последовательных приближений с разбиением интервала на 4 отрезка.

2. Проведите расчет в соответствии с вариантом табл. 1.1 с точностью .

3. Ответьте на вопросы:

1. Из каких соображений выбираются коэффициенты кубатурной формулы (1.3)?

2. Каковы условия сходимости метода последовательных приближений?

3. Как оценить погрешность на n -м шаге приближения? Как выдержать заданную точность приближения?

4. Как выбрать начальное приближение?

Таблица 1.1

Вариант	Уравнение
1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8.	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	;
15.	;