Ықтималдықтар үлестіруінің тығыздығы

Ү здіксіз кездейсоқ шаманы ық тималдық тығ ыздығ ы (дифференциалдық функция) деп аталатын функциямен де беруге болады. интервалын алып, кездейсоқ шама Х -тің осы аралық та болу ық тималдығ ын анық тайық. Алдың ғ ы пункттегі 3-қ асиет бойынша

бұ л шама ық тималдық тың орташа тығ ыздығ ы делінеді. Егер

(2)

Бұ л функция ық тималдық тығ ыздығ ы немесе ық тималдық тар ү лестіруінің тығ ыздығ ы деп аталады.

Бұ дан ық тималдық тығ ыздығ ы ү лестіру функциясының туындысы екенін байқ аймыз. Ал ү лестіру функциясы болса, ық тималдық тығ ыздығ ы ү шін бастапқ ы функция болып отыр. Сондық тан ық тималдық тығ ыздығ ы деу орнына ық тималдық тар ү лестіруінің дифференциалдық заң ы (функциясы деп те атайды). Ү лестіру функциясын ық тималдық тығ ыздығ ы арқ ылы да анық тауғ а болады. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша

Ү лестіру функциясының 3-қ асиеті бойынша

десек, онда

(3)

Бұ дан дифференциалдық функция пен интегралдық функция бірін-бірі анық тайтынын байқ аймыз.

Ү лестіру тығ ыздығ ы ү лестіру функциясы сияқ ты ү лестіру заң ының бір тү рі болып есептеледі. Бірақ ү лестіру функциясы дискретті жә не ү здіксіз кездейсоқ шамаларды сипаттайтын болғ андық тан, олардың универсал заң ы болады. Ал ү лестіру тығ ыздығ ы болса, тек ү здіксіз кездейсоқ шамаларды ғ ана сипаттайды.

Ү лестіру тығ ыздығ ының қ асиеттері:

1⁰. х -тің барлық мә нінде ү лестіру тығ ыздығ ы теріс емес, яғ ни .

Бұ л (2) тең дігінен тікелей шығ ады, ө йткені кемімейтін функция, ал .

2⁰. Кездейсоқ шаманың мү мкін мә ніндегі интервалдың барлық ұ зындығ ы бойынша алынғ ан ү лестіру тығ ыздығ ының интегралы бірге тең, яғ ни

(4)

Мысалдар. 1. Бірқ алыпты ү лестіру

Егер ық тималдық тығ ыздығ ы

болса, онда Х кездейсоқ шамасының ү лестіруін бірқ алыпты делінеді.

Енді бойынша мә нін анық тайық. Егер болса, онда анық тамасы бойынша

болғ анда

болғ анда

Демек,

2. Ү лестірудің нормаль (қ алыпты) заң ы.

Тығ ыздығ ы функциясы болғ ан ү здіксіз кездейсоқ шама ық тималдық тарының ү лестіруін нормаль заң (ү лестіру) делінеді. Мұ ндағ ы - математикалық кү тім, - орташа квадраттық ауытқ у деп аталатын параметрлер.

функциясы графигін нормаль қ исық немесе Гаусс қ исығ ы деп аталады. функциясының болғ андағ ы дербес тү рі функциясы толық зерттелген болатын.

Нормаль заң ымен ү лестірілген кездейсоқ шаманың интервалында болу ық тималдығ ы

формуласымен есептеледі.

Егер десек, онда .

Бұ л тұ жырымды ү ш алма ережесі деп атайды, оны нормаль заң ғ а бағ ынатын кездейсоқ шаманың аралығ ынан шық пауын мейлінше бірге жуық ық тималдық пен айтамыз.