Свойства дифференцируемых функций.

Теорема 1. В следующем списке каждое последующее утверждение вытекает из предыдущих:

1. строго диф. в т.

2. диф. по Фреше в т.

3. диф. по Гато в т.

4. обладает вариацией по Лагранжу в т.

Теорема 2. Если функция f диф в т. по Фреше, она непрерывна в этой точке.

Теорема 3. Пусть функция диф в т. тогда для функция также диф в т. (в том же смысле, что и функции f и g), причем .

Теорема 4. Пусть функции и диф соответственно в т. и Тогда для композиции справедливы следующие утверждения:

1) Если функция f диф в т. по Фреше, а функция g имеет сильную вариацию по Лагранжу или диф по Гато (Фреше), то композиция этих функций F диф в том же смысле, что и функция g, причем дифференциал композиции равен композиции дифференциалов: (или , если у функции g есть только вариация).

2) Если строго диф в т. , то композиция этих функций F также будет строго диф в т. .

Теорема 5. (формула конечных приращений). Пусть диф по Гато на отрезке . Тогда

Следствие. Пусть диф по Гато в некоторой окрестности точки . Если отображение сильно непр в т. (т.е. из всегда следует, что по операторной норме), то функция f строго диф в т. .