![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Классификация задач вариационного исчисления.
Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Хотя задачи, к которым применимо вариационное исчисление, заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам: 1) нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал — точек стационарного функционала, стационарных функций, линий, траекторий, поверхностей и т. п. То есть нахождение для заданного Φ [f] таких f, для которых δ Φ = 0 при любом (бесконечно малом) δ f. 2) нахождение локальных экстремумов функционала, то есть в первую очередь определение тех f, на которых Φ [f] принимает локально экстремальные значения — нахождение экстремалей (иногда также определение знака экстремума). Очевидно, обе задачи тесно связаны, и решение второй сводится (при должной гладкости функционала) к решению первой, а затем проверке, действительно ли достигается локальный. В описанном процессе выясняется и тип экстремума. Пусть задан функционал К задачам вариационного исчисления относятся: 1. Простейшая задача вариационного исчисления; 2. Задача Больца; 3. Изопермическая задача; 4. Задача со старшими производными; 5. Задача с подвижными концами; 6. Задача Лагранжа.
|