Необходимые условия экстремума в простейшей вариационной задаче. Уравнение Эйлера.

Теорема. Пусть - доставляет слабый локальный экстремум вариационной задачи (1). Функции , , непрерывны от нескольких переменных и . Тогда выполняется уравнение Эйлера: , где

Опр. Ф-ции удовл. уравнению Эйлера называются экстремальными. Ф-ции, явл. допустимыми в задаче (1), т.е. и удовл краевым условиям называются допустимыми экстремалями задачи (1).

Док-во. Обозн.

Возьмём произвольную фиксированную функцию и рассмотрим ф-цию – т.экстремума ф-ии . Значение (по теореме Ферма), следовательно ф-ия -дифф. в точке 0.

Значит рассмотрим интеграл от 1-ого слагаемого по t.

Исходный интеграл . Док-но.

Лемма Лагранжа. Пусть ф-ия и , тогда ф-ия .

Док-во. Предположим, что в точке , () в силу непрерывности ф-ии при . Тогда выберем ф-ию положительную на отрезке .

приходим к противоречию, значит . Д-но.

Значит, по лемме Лагранжа , следовательно получим уравнение Эйлера. Док-но.

Теорема. Пусть - достигает слабый локальный экстремум задачи (1). Ф-ии , , непрерывны в некоторой окрестности . Тогда ф-ия - непрерывно-дифференцируема и выполняется условие Эйлера, т.е. .

Док-во. При док-ве данной теоремы используется теорема Дюбуа-Реймона.

Теорема (лемма Дюбуа-Реймона). Пусть ф-ия и , тогда ф-ия и выполняется след уравнение: .

Док-во. Возьмём ф-ию , такая что , а

Выберем ф-ию , . Выбрав эту ф-ию специальным образом получим . Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.