Простейшая вариационная задача. Лемма Лагранжа, лемма Дюбуа-Реймона.

Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется экстремальная задача в пр-во С¹[t₀; t₁] вида:

,

Фун-я С¹[t₀; t₁], удовлетворяющая краевым условиям наз-ся допустимой.

.

Правило решения:

1) Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду простейшей задачи.

2) Выписать необходимое условие – ур-ие Эйлера: .

3) Найти допустимые экстремали, т.е. решения ур-я Эйлера, которые являются допустимыми экстремалями.

4) Док-ть, что решением является одна из допустимых экстремалей, или, что решения нет.

Лемма Лагранжа: Пусть фун-я f(t) непрерывна на отрезке [t₀; t₁](f(t) С¹[t₀; t₁]) и С¹[t₀; t₁]. Тогда f(t) .

Док - во: Пусть в некоторой точке [t₀; t₁]. Тогда в силу непрерывности фун-я и в некоторой окрестности точки , например, отрезке

[ ₀; ₁] [t₀; t₁]. Пусть С¹[t₀; t₁] – положительная в этой окрестности функция и равная нулю вне ее:

Тогда С¹[t₀; t₁] – допустимая в лемме функция, но что противоречит условию леммы. Док-но.

Лемма Дюбуа-Реймона: Пустьфун-и f₀, f₁ С¹[a; b] и С¹[a; b]. Тогда фун-я f₁ С¹[a; b] и выполняется дифференциальное ур-е (аналог ур-я Эйлера). Возьмём ф-ию , такая что , а

Выберем ф-ию , . Выбрав эту ф-ию специальным образом получим . Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.