Переход к новому базису

Координаты вектора зависят от выбора базиса. Выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе. Выясним, как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов (i =1, 2, 3) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

.

Матрица (i, k =1, 2, 3) называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Базисные векторы (i =1, 2, 3) линейно независимы, поэтому матрица неособенная.

Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами некоторого вектора в разных базисах. Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. и

Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство

для вектора и учитывая второе равенство, получим систему уравнений:

Как нетрудно заметить, матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица . В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами:

и .

Пример. В базисе заданы векторы и вектор . Показать, что векторы (i =1, 2, 3) образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство или

Задача сводится к решению системы:

Определитель системы не равен нулю. Следовательно, однородная система имеет только нулевое решение , значит векторы линейно независимы и образуют базис.

Связь между старым базисом и новым выражается системой уравнений:

Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид

Вычисляем . Она имеет вид

Находим транспонированную матрицу

Координаты в новом базисе находим из равенства

Новые координаты вектора в базисе есть (9/6, 5/6, 1/6) и вектор может быть представлен в виде: