Решение типовых задач. Пример. В некотором базисе заданы три вектора , а также вектор

Пример. В некотором базисе заданы три вектора , а также вектор . Показать, что векторы (i =1, 2, 3) образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы (i =1, 2, 3) – линейно независимы. Пусть линейная комбинация этих векторов обращается в нуль, т.е.

Это же равенство удобно записать в матричной форме:

Задача сводится к решению системы:

Убеждаемся в том, что определитель системы не равен нулю. Поэтому однородная система имеет только нулевое решение. Следовательно, , а векторы – линейно независимы и в трехмерном пространстве образуют базис. Пусть – координаты вектора в этом базисе. Это означает, что вектор представим в виде

.

Запишем это равенство в координатной форме:

От этого равенства переходим к решению системы уравнений:

Решением этой системы является тройка чисел . Они также являются координатами вектора в новом базисе . Вектор может быть представлен в виде:

или .

Пример: Даны четыре точки

.

1) Вычислить значение выражения , где , .

Решение. Находим координаты векторов и через координаты начальной и конечной точек: .

Найдем их линейную комбинацию:

.

Вычислим модуль полученного вектора:

.