Прямая на плоскости. Прямая на плоскости Oxy может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей и , т.е.

Прямая на плоскости Oxy может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей и , т.е.

или

Эта система определяет линию (прямую) пересечения плоскости Oxy плоскостью , параллельной оси Oz.

Вектор нормали плоскости одновременно является вектором нормали прямой, заданной последней системой уравнений.

Если заведомо известно, что прямая рассматривается на плоскости Oxy, то второе уравнение системы опускается. Тогда прямая в R ² задается одним уравнением вида , которое называется общим уравнением прямой на плоскости, а ее нормальный вектор записывается в виде двумерного вектора .

Из этих рассуждений следует, что в различных по размерности пространствах одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты. В рассмотренном случае линейное уравнение в пространстве R ³ определяет плоскость, параллельную оси Oz, а в пространстве R ² на координатной плоскости Oxy оно определяет прямую – след плоскости на плоскости .

На основании сказанного легко получить всевозможные уравнения прямой на плоскости, исходя из аналогичных уравнений в пространстве:

1) каноническое уравнение , где - точка, через которую проходит прямая, -ее направляющий вектор;

2) параметрические уравнения

3) уравнения прямой, проходящей через две точки, ;

4) уравнение прямой непараллельной оси Oy, ,

где - угловой коэффициент прямой, - ее начальная ордината;

5) уравнение пучка прямых, проходящих через точку ,

;

6) нормальное уравнение прямой , где - полярный угол нормали, - расстояние прямой от начала координат.