Линии второго порядка

Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Окружностью называется множество точек на плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром. Окружность радиусом R с центром в начале координат задается уравнением

.

Если центр сместить в точку , то уравнение примет вид

.

Эллипс с полуосями a и b симметричный относительно осей координат определяется простейшим (каноническим) уравнением

.

Точки и , расположенные на оси Ox и отстоящие на расстоянии от начала координат, называются фокусами эллипса. В частном случае, если a=b, то фокусы и совпадают с центром, а каноническое уравнение описывает окружность радиуса a с центром в начале координат.

Число называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его сплюснутости (при эллипс вырождается в окружность). Прямые называются директрисами эллипса.

Для любой точки M эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.

Гипербола с действительной полуосью a, мнимой полуосью b, с центром в начале координат имеет следующее каноническое уравнение:

.

Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, больше 1.

Прямые – асимптоты гиперболы, а прямые - ее директрисы. Для любой точки M гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2a: . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ox, имеет следующее каноническое уравнение: , где - параметр параболы. При ветви параболы направлены вправо, при – влево. Точка - фокус, а прямая – директриса параболы. Парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстающих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы.

Уравнения вида , определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые параллельно смещены относительно системы координат Oxy таким образом, что центр эллипса, гиперболы и вершина параболы находятся в точке .

Кривые эллипс, гипербола и парабола обладают общим свойством: отношение расстояния от любой точки M кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой (называемой директрисой) есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом). Это свойство можно принять за определение кривых второго порядка. При этом для эллипса , для параболы , для гиперболы .