Решение типовых задач. Пример.Даны вершины треугольника ABC: A(-4;2), B(8;-6), C(2;6).

Пример. Даны вершины треугольника ABC: A (-4; 2), B (8; -6), C (2; 6).

Найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CH;

3) уравнение медианы AM;

4) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;

5) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

6) расстояние от точки C до прямой AB.

Решение. 1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Получим уравнение стороны AB: , откуда или .

2) Высота опускается из точки C на сторону AB, угловой коэффициент которой . Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через , то согласно условию перпендикулярности . Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку C: . Из этого пучка выберем прямую, перпендикулярную AB, придав значение . Получим или .

3) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: , . По известным двум точкам составляем уравнение прямой АМ:

или .

4) Точку пересечения N медианы АМ и высоты CH находим из совместного решения им соответствующих уравнений:

Решив эту систему, получим .

5) Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку С: . Выберем из него прямую, параллельную прямой AB, придав значение . Получим уравнение искомой прямой в виде

или .

6)Расстояние от точки С до прямой AB вычисляем по формуле

.

Замечание. Предложенное решение задачи можно считать наиболее оптимальным, так как удачный выбор всевозможных уравнений позволил до минимума сократить количество операций. На практике чаще всего требуется просто решить задачу на основании каких-то данных. Тогда при решении задачи можно использовать только те уравнения, которые Вам известны. Например, воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проследим за тем, как изменяются рассуждения при решении отдельных пунктов задачи.

1) Найдем уравнение стороны AB, учитывая то, что прямая проходит через две точки. Последнее означает, что координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению . Подставив координаты этих точек в уравнение, получим систему для определения коэффициентов и : Решив ее, получим , .

Подставим значения коэффициентов в уравнение и получим

или .

2) Уравнение высоты CH также ищем в виде . По условию прямая CH проходит через точку C. Значит справедливо равенство . Далее учтем, что эта же прямая перпендикулярна AB. Это означает, что .

Решим систему Откуда имеем , .

Уравнение высоты CH запишется в виде или .

3) Согласно тому, что прямая АМ проходит через две точки, записываем систему равенств:

Решив систему, получим , .

Тогда уравнение АМ будет или .

4) Запишем уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, основываясь снова на уравнении . Так как прямая проходит через точку C, то справедливо равенство . Согласно условию параллельности имеем . Решаем систему уравнений Имеем , . Тогда уравнение искомой прямой будет или .

5) Найдем предварительно точку K пересечения прямых CH и AB из решения системы уравнений

Имеем . Далее находим расстояние от точки C до прямой AB как расстояние между точками C и K:

.