Рассмотрим геометрические объекты, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями.

Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана одним из уравнений:

1) – общее уравнение плоскости;

2) – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному

вектору ;

3) - уравнение плоскости в отрезках, где – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях соответственно;

4) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой, можно записать в виде

или ;

5) – нормальное уравнение плоскости, где направляющие косинусы вектора , перпендикулярного плоскости; – расстояние от начала координат до плоскости.

Анализируя все перечисленные уравнения плоскости, приходим к выводу: всякое уравнение первой степени относительно координат точки пространства изображает плоскость, и, наоборот, всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени, содержащим три независимых параметра.

Если в указанном уравнении отсутствует свободный член , то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из координат , то плоскость параллельна соответствующей оси координат; если одновременно отсутствуют свободный член и член с одной из координат, то плоскость проходит через соответствующую ось. Если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая содержит соответствующие оси. Если отсутствуют член уравнения с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей.

Прямая L в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями

как линия пересечения двух непараллельных плоскостей;

2) каноническими уравнениями

,

как прямая, проходящая через точку параллельно

направляющему вектору ;

3) параметрическими уравнениями

4) уравнениями , как прямая, проходящая через две заданные точки и .