Решение типовых задач

Пример. Написать уравнение плоскости P, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если .

Решение: а) Пусть – текущая точка плоскости P. Вывести уравнение плоскости – это значит записать аналитически условие, при котором произвольная точка (текущая точка) будет принадлежать этой плоскости. Рассмотрим взаимное расположение произвольного вектора, принадлежащего плоскости и нормального вектора плоскости . Очевидно, что точка , когда указанные векторы ортогональны. Условием ортогональности этих векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т.е. . Записав это равенство через координаты векторов, получим уравнение искомой плоскости или .

б) Эту же задачу можно решить используя какое-либо уравнение плоскости. При этом решение задачи будет настолько рациональным, насколько удачно выбрано уравнение. Если его взять в виде как уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , то, если подставить вместо координаты точки , а в качестве нормального вектора взять вектор , то получим то же уравнение плоскости.

Пример. Написать уравнение плоскости P, проходящей через две точки и параллельно вектору .

Решение. а)Пусть - текущая точка плоскости. Чтобы записать условие ее принадлежности плоскости P, векторизуем задачу. Запишем координаты векторов и . Точка будет принадлежать плоскости, если векторы , и компланарны, т.е. когда . Выразим это условие через координаты векторов: . Раскрыв определитель, получим уравнение плоскости вида .

б) Решение задачи будет более простым, если воспользоваться общим уравнением плоскости . В этом уравнении четыре коэффициента подлежат определению. Первые три из них являются координатами нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор

.

Уравнение плоскости примет вид . Коэффициент D определяем из условия того, что указанная плоскость проходит через точку . Подставив значения ее координат в уравнение плоскости, получим равенство , откуда . Окончательно получим то же уравнение плоскости.

Пример. Найти угол между плоскостью P ₁, проходящей через три точки , , и плоскостью P₂, заданной уравнением .

Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Поэтому

.

Найдем нормальный вектор плоскости P ₁ через векторы , . Очевидно, в качестве этого вектора можно взять вектор

или ему коллинеарный вектор . Нормальным вектором плоскости P₂ является вектор . Угол между плоскостями определим из равенства

,

откуда

Пример. Прямая L задана общими уравнениями: Написать для этой прямой канонические, параметрические уравнения и уравнения в проекциях. Найти следы этой прямой на координатных плоскостях.

Решение. Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качастве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

.

Запишем канонические уравнения прямой: .

Обозначив равные отношения буквой t, получим параметрические уравнения прямой:

Полученная ранее пропорция эквивалентна системе трех уравнений: или

описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

Чтобы найти следы прямой на координатных плоскостях, полагаем в общих уравнениях прямой последовательно , , . Получим

системы уравнений:

Решив их, найдем следы прямой на координатных плоскостях: , .

Замечание. Канонические уравнения прямой легко получить, записав уравнение прямой, проходящей через любые две точки, лежащие на этой прямой. Чтобы выбрать одну из них мы предположим, что , и получим точку . Затем положим и придем к системе

решив которую, определим координаты другой точки .

Уравнение прямой запишем в виде

или .

Пример. Показать, что прямые

L ₁ : и L _2:

параллельны и найти расстояние .

Решение. Направляющим вектором прямой L ₂ будет вектор . Он ортогонален как вектору , так и вектору , которые являются нормальными векторами соответствующих плоскостей. Действительно, легко убедиться, что скалярные произведения и . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку , принадлежащую прямой L ₂, перпендикулярно этой прямой.

Ее уравнение или .

Находим точку M ₁пересечения этой плоскости с прямой, заданной общими уравнениями, т.е. решим систему уравнений:

Решение ее будет тройка чисел , являющаяся координатами точки . Определим расстояние между точками : .