Противопоставление

Используя две операции (обращение и превращение), в негативной силлогистике можно ввести еще некоторые операции.

Противопоставление предикату (контрапозиция предикату) получается последовательным применением к исходному высказыванию операции превращения и к полученному результату – операции обращения. Это приводит к следующим умозаключениям:

Например:

1) «Все люди – разумные существа» к высказыванию «Ни одно не-разумное существо не есть человек».

При противопоставлении предикату субъект Sи предикат Р меняются местами и термин Р берется с отрицанием.

Для высказываний типа i операция противопоставления предикату не выполняется, так как при превращении это выражение перейдет в высказывание типа о, а для последнего нет обращения, так как это противоречит правилам силлогизма.

Противопоставление субъекту (контрапозиция субъекту) получается последовательным применением к исходному высказыванию операции обращения и к получившемуся результату – операции превращения. Это приводит к умозаключениям следующих видов:

Как видим, при противопоставлении субъектупредикат Р и субъектSменяются местами и терминSберется с отрицанием.

Для высказывания типа о операция противопоставления субъекту не выполняется, так как любое противопоставление субъекту этого высказывания неправильно.

Противопоставления субъекту и предикату (контрапозиция) осуществляется последовательным применением операции превращения, обращения и снова превращения. Это дает следующие умозаключения:

Например: мы можем перейти от высказывания «Все люди – разумные существа» к высказыванию «Все не-разумные существа суть не-люди».

32Умозаключения по логическому квадрату

Логический квадрат помогает запоминанию различных логических отношений, которые существуют между высказываниями типа а, е, i, о с одинаковым расположением терминов, то есть с одинаковыми субъектами и одинаковыми предикатами.

К непосредственным умозаключениям по логическому квадрату относятся умозаключения вида:

АА АА

В В ВВ

где А и В – различные простые категорические высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами. Правильные умозаключения этого типа основаны на логических отношениях между А и В. Подобных отношений четыре:

1. Подчинение между а и i, е и о.

Отношение подчинения между высказываниями «Всякий S есть P» и «Некоторый S есть Р»; и между высказываниями «Всякий S не есть Р» и «Некоторый S не есть Р». Из чего можно сделать вывод, что из «Всякий S есть P» следует, что «Некоторый S есть Р»; и также из «Всякий S не есть Р» следует, что «Некоторый S не есть Р». Это позволяет обосновать и принять умозаключения следующих видов:

«Всякий S есть P» «Всякий S не есть Р»

«Некоторый Sесть Р» «НекоторыйSне есть Р»

Таким образом, любое конкретное высказывание типа i выводится из высказывания типа а (высказывание типа о выводится из высказывания типа е). Например, из высказывания «Все учащиеся успешно сдали экзамены» выводится высказывание «Некоторые учащиеся успешно сдали экзамены», а из предложения «Каждый ученый не умеет читать» выводится предложение «Некоторые ученые не умеют читать».

2. Контрарность (противоположность) между а и е.

Высказывания «Всякий S есть Р» и «Всякий S не есть Р» не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Отсюда можно заключить, что коньюнкциявида «ВсякийS есть Р» & «Всякий S не есть Р» является ложным утверждением на каждой модельной схеме, и тем самым ее отрицание будет всегда истинным. Отсюда следует, что имеет место умозаключение следующего вида:

«Всякий Sесть Р»

«Всякий Sне есть Р»

3. Субконтрарность между i и о.

Высказывания «Некоторый S есть Р» и «Некоторый S не есть Р» не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными.Отсюда сразу получаем, что дизъюнкция этих двух высказываний на каждой из семи модельных схем принимает значение «истина», то есть имеет место умозаключение следующего вида:

«Некоторый Sесть Р»

«Некоторый Sне есть Р»

4. Контрадикторность (противоречие) между а и о, е и i.

Высказывания «Всякий S есть Р» и «Некоторый S не есть Р» противоречат друг другу, т.е. не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны. Также контрадикторны (противоречивы) высказывания «Всякий S не есть Р» и «Некоторый S есть Р». Таким образом, имеем умозаключения следующих видов:

«Всякий S есть Р»«Всякий S есть Р»

«Некоторый Sне есть Р» «НекоторыйSне есть Р»

«Всякий S не есть Р» «Всякий S не есть Р»

«Некоторый Sесть Р» «НекоторыйSесть Р»

Данные непосредственные умозаключения по логическому квадрату называются диагональными соотношениями. Они говорят о том, что выражения, стоящие над чертой и под чертой, являются эквивалентными, то есть несут одну и ту же информацию. Например, сказать «Неверно, что все птицы улетают зимой на юг» – то же самое, что сказать «Некоторые птицы не улетают зимой на юг», а сказать «Неверно, что некоторые писатели не люди» – то же самое, что сказать «Все писатели – люди».

33Простой категорический силлогизм

(Умозаключение из двух посылок)

Рассмотрим двухпосылочные умозаключения вида:

A₁, А₂ ╞ В.

Простой категорический силлогизм – это умозаключение, в котором от наличия некоторых отношений между терминами S и М и терминами Р и М, фиксируемых впосылках, приходят к заключению о наличии определенного отношения между терминами S и Р.

Общий термин, содержащийся в A₁и А₂, связывает посылки и опосредует следование из них заключения В. Поэтому умозаключения такого вида часто называются опосредованными.

Примером силлогизма является умозаключение:

Слово «бег» обозначает действие.

Слово «бег» –- существительное.

Некоторые существительные обозначают действия.

В нем содержатся три высказывания: первые два являются посылками, а последнее – заключением. Средним термином является словосочетание «слово “бег”», связывающее термины посылок – «существительное» и «обозначает действие».

Будем далее называть посылку, содержащую меньший термин, меньшей посылкой, а посылку, содержащую больший термин, большей посылкой. Условимся также всегда помещать большую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку.

Приняв эти условия, можно все простые категорические силлогизмы разделить по так называемым фигурам. Каждая фигура – это множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина в посылках:

Здесь цифрой 1 обозначается большая посылка, цифрой 2 – меньшая посылка, а цифрой 3 – заключение. Буква Sобозначает меньший термин, буква Р – больший, а буква М – средний термин. Очевидно, что средний термин можно расположить только указанными четырьмя способами, поэтому существуют только четыре различные фигуры.

Если в фигуре указать тип высказываний, стоящих на местах посылок и заключения, то получим разновидность данной фигуры. Так, если взять Iфигуру и предположить, что большая посылка, меньшая посылка и заключение – это высказывания типа а, то получим силлогизм (разновидность)Iфигуры:

1. Всякий М есть Р

2. Всякий Sесть М

3. Всякий Sесть Р

Такого рода разновидности фигур называются их модусами.

В каждой фигуре имеется 64 модуса (разновидностей фигур), а по всем четырем фигурам – 256. Однако не во всех из них заключение логически следует из посылок. Те модусы, для которых следование имеет место, называются правильными. Всего существует (24) правильных модуса. Все они в средневековье получили специальные названия. Так, приведенный выше модус Iфигуры называется Barbara (иногда пишут ааа, указывая последовательно слева направо тип высказывания большей, меньшей посылок и заключения).

Для Проверки правильности конкретных рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, вовсе нет необходимости запоминать правильные модусы, знать их названия. Для этого можно воспользоваться семантическими условиями истинности категорических высказываний, задаваемых пунктами (1)-(4). Проверим, например, правильность рассуждения:

1. Ни одно ластоногое животное не есть рыба.

2. Все тюлени – ластоногие животные.

3. Ни один тюлень не является рыбой.

Это рассуждение осуществляется по модусу Celarent Iфигуры, имеющему вид:

1. Ни один М не есть Р

2. Всякий Sесть М

3. Ни один Sне есть Р

Чтобы проверить его правильность, достаточно рассмотреть лишь такие модельные схемы, на которых посылки одновременно принимают значение «истина». Множество таких схем по трем переменным S, Р и М состоит в точности из следующих четырех модельных схем:

На каждой из этих схем термины М и Р, а также Sи М находятся в таких отношениях друг к другу, что посылки «Ни один М не есть Р» и «ВсякийSесть М» оказываются одновременно истинными. Проверяя теперь, в каком отношении на этих схемах находятся терминыSи Р, обнаруживаем, что в каждой из них будет справедливо утверждать «Ни одинSне есть Р», что и обосновывает наличие указанного следования.

Обоснование модуса Celarent означает, что умозаключение данной формы правильно для любых непустых и не универсальных терминовS, Р и М. Так, взяв в качествеSтермин «правильный модус поIфигуре», в качестве Р – «физический закон» и в качестве М – «силлогизм», можем утверждать, что так как предложения «Ни один силлогизм не является физическим законом» и «Любой правильный модус поIфигуре – это силлогизм» истинны, то по модусу Celarent обязательно должно быть истинным и предложение «Любой правильный модус поIфигуре не есть физический закон».

Модельные схемы позволяют не только устанавливать, но и опровергать наличие логического следования. Для этого необходимо сначала выявить логическую форму рассуждения, а затем указать хотя бы одну модельную схему, на которой посылки будут истинными, а заключение – ложным. Пусть проверяется рассуждение:

1. Некоторые вещества, ускоряющие химические реакции, не участвуют в реакции.

2. Все катализаторы являются веществами, ускоряющими химические реакции.

3. Все катализаторы не участвуют в реакции.

Положив, что S– это «катализаторы», М – «вещества, ускоряющие химические реакции» и Р – «вещества, участвующие в химических реакциях», находим, что рассуждение имеет форму модуса оае Iфигуры, то есть

1. Некоторый М не есть Р (о)

2. Всякий Sесть М (а)

3. Ни один Sне есть Р (е)

Приведенная сразу же под рассматриваемым силлогизмом модельная схема, как говорят в логике опровергает данный модус, так как на этой схеме обе посылки силлогизма будут истинными, а заключение – ложным. На основе этой схемы можно построить интуитивно более наглядный контрпример данному рассуждению. Для этого необходимо так подобрать термины S, Pи М, чтобы посылки оказались истинными, а заключение – заведомо ложным. В нашем случае в качестве таких терминов можно взять, например, «треугольник» (М), «равносторонний треугольник» (Р) и «равноугольный треугольник» (S). Осуществляя теперь подстановку этих терминов в рассматриваемый модус оае Iфигуры, получим умозаключение с истинными посылками:

1. Некоторый треугольник не является равносторонним.

2. Всякий равноугольный треугольник – треугольник.

и ложным заключением:

3. Всякий равноугольный треугольник не есть равносторонний треугольник.

Данное рассуждение показывает, что умозаключение вида

1. Некоторый М не есть Р (о)

2. Всякий Sесть М (а)

3. Ни один Sне есть Р (е)

не удовлетворяет отношению логического следования, так как имеются истинные посылки данного типа, при которых заключение оказывается ложным.

Семантический метод решения вопроса о правильности модусов сталкивается с той трудностью, что число возможных модельных схем отношений между терминами быстро растет с увеличением числа терминов. Если для случая одного термина существует ровно одна модельная схема, для двух различных терминов существует ровно семь различных модельных схем, то уже в случае трех различных терминов число всех отличных друг от друга модельных схем увеличивается почти до 200. Это делает необходимым нахождение более простых и не столь громоздких способов проверки правильности модусов простого категорического силлогизма.

Такой способ имеется. Он носит синтаксический характер и содержит перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе – достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизма и подразделяются на правила терминов и посылок.

Модус простого категорического силлогизма является правильным, если и только если он удовлетворяет правилам терминов и посылок.

Правила терминов:

1. По крайней мере один средний термин должен быть распределен,

2. Термин распределенный в заключении, должен быть распределен в посылке.

Правила посылок:

1. По крайней мере одна посылка должна быть утвердительной.

2. Если утвердительными являются обе посылки, то заключе­ние должно быть утвердительным высказыванием.

3. Если имеется отрицательная посылка, то заключение должно быть отрицательным высказыванием.

Эти правила позволяют при их использовании быстро и эффективно решать вопрос о правильности или неправильности модусов. Так, приводившийся пример модуса оае Iфигуры нарушает условие (1) и (2) для терминов, поэтому не является правильным модусом.

Иногда для отдельных фигур указывают специальные их свойства, которые выполняются для всех правильных модусов этих фигур. Однако они не являются критериями правильности. Эти свойства таковы:

по Iфигуре:

1. большая посылка является общим суждением в любом правильном модусе;

2. меньшая посылка является утвердительным суждением в любом правильном модусе.

по IIфигуре:

1. большая посылка – общее суждение;

2. одна из посылок – отрицательное суждение.

по IIIфигуре:

1. меньшая посылка – утвердительное суждение;

2. заключение – частное суждение.

В любом правильном модусе по Iфигуре большая посылка – общее высказывание, а меньшая – утвердительная; в любом правильном модусе поIIфигуре большая посылка – общее высказывание, одна из посылок отрицательна; в любом правильном модусе поIIIфигуре меньшая посылка – утвердительное высказывание, а заключение – частное. Еще раз подчеркнем, что эти свойства не являются критериям правильности, так как существует большое количество неправильных модусов, которые обладают указанными свойствами.

34Энтимемы

Значение силлогистики состоит прежде всего в том, что исследуемые здесь формы рассуждений широко используются в повседневной практике, являются важным элементом построения аргументации в ходе различного рода дискуссий.Однако при практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса, в ходе полемики обычно не пользуются развернутой (полной) формой силлогизма, когда точно указываются все аргументы в пользу какого-либо утверждения и затем скрупулезно демонстрируется, что данное утверждение является логическим следствием принятых аргументов. Энтимема (от греческого «энтиме» – «в уме») – это сокращенная форма рассуждения, с пропуском некоторых посылок или заключения. Энтимемы делятся на корректные и некорректные.

В силлогистике энтимема считается корректной, если:

1) она может быть восстановлена до правильного модуса категорического силлогизма,

2) все посылки в восстановленном правильном модусе окажутся истинными утверждениями. Последнее требование вытекает из теории аргументации, которая является одной из важнейших составных частей логической прагматики. Согласно этой теории, аргументация считается корректной только при истинности аргументов.

Проверка энтимемы «Медь – металл, так как медь – проводник»

на корректность:

1) Прежде всего, надо установить, что пропущено в аргументации: заключение или посылка (и какая посылка). Для этого в энтимеме надо найти формальные показатели наличия следования, т.е. слова и словосочетания: «отсюда следует», «поэтому», «потому что», «ибо», «так как» и другие. Рассматривая с этой точки зрения нашу энтимему, устанавливаем, что некто пытается обосновать положение «медь – металл» ссылкой на то, что «медь – проводник». Это сразу же указывает на то, что высказывание «Медь – металл» – это заключение, где термин «медь» – меньший, а термин «металл» – больший термины. Но тогда предложение «Медь – проводник» – это меньшая посылка, где «проводник» – средний термин. Итак, зафиксируем, что нам известно:

Исходя из этой информации, теперь можно попытаться восстановить полный модус следующим образом: либо средний термин (М) поставить в большей посылке на место субъекта и идти к модусу Iфигуры, либо средний термин поставить в большей посылке на место предиката и восстанавливать энтимему до модусаIIфигуры, то есть

Но во IIфигуре нет правильных модусов, имеющих в заключении высказывание типа а. Поэтому эта возможность отпадает и остается только первый вариант. Рассматривая этот случай, приходим к выводу, что большая посылка должна быть общеутвердительным высказыванием. Итак:

Это модус BarbaraIфигуры. Рассуждение, содержащееся в энтимеме, восстановлено до правильного силлогизма. Однако энтимему нельзя признать удовлетворительной, так как большая посылка в ней является ложной, а потому данную аргументацию нельзя признать корректной.

Рассмотрим следующий пример энтимемы: «Всякое преступление должно быть наказуемо, значит, и всякое воровство преступление». Применяя к данной энтимеме указанную выше процедуру, приходим к выводу, что высказывание «Всякое воровство – преступление» является заключением аргументации, то есть тезисом, который некто хочет обосновать, а в качестве обосновывающего аргумента выдвигается положение: «Всякое преступление должно быть наказуемо». Из этого анализа вытекает, что меньшим термином (субъектом заключения) будет термин «воровство», а большим термином (предикатом заключения) – термин «преступление». В таком случае термин «должно быть наказуемо» является средним термином, а приведенный аргумент – это большая посылка. Зафиксируем теперь то, что нам известно:

1. Всякое преступление должно быть наказуемо (а)

2. __________________________________________

3. Всякое воровство – преступление (а)

или то же самое в форме недостроенной фигуры силлогизма:

Продолжая действовать далее, мы должны теперь попытаться восстановить энтимему до полного правильного модуса силлогизма одной из фигур. Очевидно, что термины S и М можно расположить в меньшей посылке только двумя способами: когда первое расположение среднего термина даст нам некоторый модус по II фигуре, а второе его расположение даст модус по IV фигуре. Но и во II, и в IV фигурах отсутствуют правильные модусы, у которых заключением было бы высказывание типа а. Таким образом, данную энтимему нельзя в принципе восстановить до правильного силлогизма, а потому она является некорректной. Воровство, конечно же, преступление, но обосновывать этот тезис следует иными аргументами.

35Умозаключения из сложных суждений

Выводы из сложных высказываний (выводы на основе свойств логических связок). К подобным высказываниям относятся следующие простые формы умозаключений:

1. Условно-категорические умозаключения включают два правильных модуса (разновидности):

а. Утверждающий модус условно-категорического умозаключения (modus ponens)

Если А, то В. А. Следовательно, В.

А В, А

___________________________________

В

Например, «Если сумма цифр числа 346 не делится на 3, то оно не делится на 3. Сумма цифр числа 346 не делится на 3. Следовательно, число 346 не делится на три.»

b) Отрицающий модус условно-категорического умозаключения (modus tollens) Если А, то В. Неверно, что В. Следовательно, неверно, что А.

А В, В

_______________________________________________

А

Например, «Если число 3576 является простым, то оно не делится на 3. Число 3576 делится на 3. Следовательно, число 3576 не является простым».

2. Условно-разделительное (лемматическое) умозаключение.

Умозаключения этого вида есть выводы из трех и более высказываний, причем две или более посылок – условные высказывания, а одна – дизъюнктивная посылка, которая традиционно называется разделительным суждением. Причем разделительное суждение может быть как со слабой, так и строгой дизъюнкцией.

В ситуации двух условных высказываний эти силлогизмы называются дилеммами. Причем различают два вида дилеммам: конструктивные и деструктивные.

Конструктивная (утверждающая) дилемма имеет вид:

А В

С D

А С

________________________

В D

Например, «Студент, не готовившийся заранее к экзамену, накануне экзамена оказывается перед дилеммой:

Если я лягу нормально спать, то не подготовлюсь к экзамену.

Если же я буду заниматься ночью, то приду на экзамен с головной болью.

Но мне остается только или ложиться спать или заниматься ночь.

Следовательно, я приду на экзамен неподготовленным или с головной болью».

Деструктивная (отрицающая) дилемма:

А В

С D

В D

________________________________________

А С

Например,

«Если Иванов работает, то он получает зарплату.

Если же Иванов учится, то получает стипендию.

Но Иванов не получает зарплату или не получает стипендию.

Следовательно, он не учится или не работает.»

3. Смешанные условно-разделительные умозаключения. Конструктивно-деструктивные умозаключения. Некоторые из членов разделительной посылки в этих умозаключениях указывают на наличие оснований каких-нибудь из условных суждений, а иные – представляют собой отрицание следствий (консеквентов) условных суждений.

Например,

А В

С D

А D

_______________________________

В С

Среди дилемм различают простые и сложные. Приведенные выше были сложными. Дилемма является сложной, когда как основания так и следствия условных суждений различны.

В простой дилемме, если она конструктивная, основания различны, а следствие в условных суждениях одно и то же.

В деструктивной же дилемме основание одно и то же, а следствия различны.

А С АС

В С АВ

А ВСВ

_______________________________ ______________________________

С А

Условно-разделительные умозаключения называют лемматическими умозаключениями, имея в виду возможность обобщения дилемм за счет увеличения числа условных высказываний и соответственно – членов разделительного суждения.

Например:

А₁В₁

А₂В₂

А₃В₃

А₁А₂ А₃

_______________________________________________________________________

В₁В₂ В₃

Умозаключение подобного вида называется сложной триллемой.

Чисто-условные умозаключения. Это выводы из любого количества посылок, представляющих собой условные высказывания. Наиболее типичны выводы из двух условных высказываний:

А В

В С

_______________________________

А С

Выводы этого вида характеризуют как выводы на основании транзитивности импликации.

Разделительно-категорические умозаключения. Это умозаключение из двух или более посылок, в которых, по крайней мере, одна – разделительное суждение. Основными формами являются:

а) Модус tollendoponens(отрицающе-утверждающий). Дизъюнкция здесь может быть как слабой, так и сильной.

А В

А

_________________________________

В

36Правдоподобные умозаключения

По существу имеются в виду неаксиоматизированные теории, к числу которых принадлежит большинство естественнонаучных теорий (физика, химия, биология, астрономия и т.д.)