Определение вектора, его длины. Равные и противоположные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот.

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

®

В

Конец вектора

А Вектором, или направленным отрезком,

Начало вектора называется отрезок вместе с его направлением.

На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной латинской буквой со стрелкой над ней:

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, а на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить . Нулевой вектор обозначается символом .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора () обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: .

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

· М A

BF

· D E

C

Векторы (вектор нулевой) коллинеарные, а векторы , а также не коллинеарны.

Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными.

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными (противоположно направленными) если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, проходящей через начала.

Если векторы и сонаправлены, то пишут: ­­ , а если они противоположно направлены, пишут: ­¯ .

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Ненулевые коллинеарные векторы обладают следующими свойствами:

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Пусть - два вектора. Отметим произвольную

B точку А и отложим от этой точки вектор ,

равный . Затем от точки В отложим вектор , равный .

A C

Вектор называется суммой векторов . Сумма векторов и обозначается так:

Суммой векторов называется вектор , началом которого является начало вектора , конечной точкой будет конец вектора , отложенного от конца вектора .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Cправедливо равенство .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случаае, когда две из них или все три совпадают.

Рассмотрим свойства сложения векторов.

Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства:

1. + = + (переместительное свойство)

2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательное свойство)

Доказательство.

1. Рассмотрим случай, когда векторы не коллинеарны.

B C От произвольной точки А отложим векторы

параллелограмм ABCD. По правилу треугольника

. Аналогично

. Отсюда следует, что

А D + = +

B C2. От произвольной точки А отложим

вектор , от точки В – вектор ,

а от точки С – вектор .

Применяя правило треугольника, получим:

A D

( + ) + =

+ ( + ) =

Þ ( + ) + = + ( + ).

При доказательстве свойства 1 мы обосновали так называемое правилопараллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Правило построения суммы нескольких

векторов называется правилом много -

угольника.

Правило многоугольника можно

сформулировать также следующим

образом: если А₁, А₂, …, А_n -

произвольные точки плоскости, то

.

Это равенство справедливо для

любых точек А₁, А₂, …, А_n, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

+ + + + =

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Разность векторов и обозначается так: - .

Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов.

Задача. Даны векторы и . Построить вектор - .

Решение.

А Отметим на плоскости произвольную точку О и

отложим от этой точки векторы и .

- По правилу треугольника , или

. Таким образом, сумма векторов и равна вектору

О В

По определению разности векторов это означает, что , т.е. вектор искомый.

Введем понятие вектора, противоположного данному.

В Пусть - произвольный ненулевой вектор.

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены

.

Вектор является противоположным вектору . Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору , обозначается так: - .

Очевидно, + (- ) = .

Теорема. Для любых векторов и справедливо равенство - = + (- ).

Доказательство. По определению разности векторов ( - ) + = . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- ), получим:

( - ) + + (- ) = + (- ), или ( - ) + = + (- ), откуда - = + (- ).

Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор

. Затем от точки А отложим вектор По теореме о

-

разности векторов - = + (- ), поэтому - = т.е. вектор искомый.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при k ³ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: k .

k × = , если:

3

- 2

Из определения произведения вектора на число следует, что:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.

Следствия из определения: 1. × 0 = 0; 2.Для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарные.

Основные свойства умножения вектора на число: 1. (k l) = k× (l ) (сочетательный закон) 2. (k + l) = k +l (первый распределительный закон) 3. k( + ) = k + k (второй распределительный закон)

для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:

Доказательство. Если k ¹ 0, l ¹ 0, ¹ , то оба вектора (k l) и k (l ) имеют одну и ту же длину, равную , и одно и то же направление. Это направление такое же, как и у , если k и l одного знака, и противоположно , если k и l разного знака.

2)

О k А l В

Если сумма k + l > 0, то векторы (k + l) и k + l будут сонаправлены с вектором и иметь одинаковые длины:

(k + l) = k + l .

Если (k + l) < 0, то (-k – l) > 0 и, по доказанному, (-k - l) = - (k + l ).

Откуда умножением на (-1) получаем (k + l) = k + l .

А

3) А₁

О + В₁ В

D ОАВ ~ D ОА₁В₁ с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны, Таким образом, k( + ) = k + k .

3. Задача по теме «Подобие треугольников».