Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника.
|
|
Равенство: ∆ АВС = ∆ А1В1С1 означает, что Ð А = Ð А1; Ð В = Ð В1; Ð С = Ð С1.
Соответственно равенство: ∆ АВС = ∆ MNQ означает, что в этих треугольниках Ð А = Ð M; Ð В = Ð N; Ð С = Ð Q.
Существование треугольника, равного данному.
| В1 |
| С1 |
| B |
| А1 |
| C |
| A |
Аксиома о существовании треугольника, равного данному. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Признаки равенства треугольников. Теорема 1 (первый признак равенства треугольников – СУС). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1; АВ = А1В1; Ð A = Ð A1; АС = А1С1.
Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Доказательство:
1. Наложим ∆ АВС на ∆ А1В1С1 так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.
2. Поскольку АВ = А1В1, точки В и В1 совпадут, а сторона АВ совместится со стороной А1В1.
3. Поскольку АС = А1С1, точки С и С1 совпадут, а сторона АС совместится со стороной А1С1.
4. Согласно аксиоме существования прямых стороны ВС и В1С1 также совпадут. ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Теорема 2 (второй признак равенства треугольников – УСУ). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1; Ð A = Ð A1; АС = А1С1; Ð С = Ð С1.
Доказать: ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Доказательство:
1. Наложим ∆ АВС на ∆ А1В1С1 так, чтобы точка А совместилась с точкой А1, сторона АС – с равной ей стороной А1С1, а вершины В и В1 оказались по одну сторону от прямой А1С1.
2. Поскольку Ð A = Ð A1 и Ð С = Ð С1, то сторона АВ наложится на луч А1В1, а сторона СВ наложится на луч С1В1. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей на лучах А1В1 и С1В1, а следовательно, совместится с общей точкой лучей А1В1 и С1В1, т. е. с точкой В1. Значит, совместятся стороны АВ и А1В1, а также СВ и С1В1. Значит, ∆ АВС = ∆ А1В1С1.
Теорема 3 (третий признак равенства треугольников – ССС). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
| A1 |
| В1 |
| B |
| С (С1) |
| В1 |
| С1 |
| A (A1) |
| C |
| B |
| A |
Доказательство: Дополнительное построение. Приложим ∆ АВС к ∆ А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1 и вершина С совместилась с вершиной С1, а вершина В и вершина В1 оказались по разные стороны от отрезка АС.
2. Возможны три случая: 1) луч ВВ1 проходит внутри угла АВС; 2) луч ВВ1 совпадает с одной из сторон угла АВС; 3) луч ВВ1 проходит вне угла АВС.
3. Рассмотрим первый случай. Так как АВ = А1В1, то ∆ АВВ1 – равнобедренный Þ
Ð АВВ1 = Ð АВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то ∆ СВВ1 – равнобедренный Þ Ð СВВ1 = Ð СВ1В (углы при основании).
4. Рассмотрим второй случай. Пусть точка С Ì ВВ1. Так как АВ = А1В1, то ∆ АВВ1 – равнобедренный Þ Ð АВВ1 = Ð АВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то в ∆ АВВ1 АС – медиана.
3. Рассмотрим третий случай. Так как АВ = А1В1, то ∆ АВВ1 – равнобедренный Þ
Ð АВВ1 = Ð АВ1В (углы при основании). Так как СВ = СВ1, то ∆ СВВ1 – равнобедренный Þ Ð СВВ1 = Ð СВ1В (углы при основании).
2. Деление отрезка на п равных частей. Доказательство теоремы Фалеса.