Лекция №12. Приближенные методы решения задач теории упругого режима. Метод интегральных соотношений.

Метод интегральных соотношений.

Приближенное решение некоторых задач нестационарной фильтрации упругой жидкости с нужной точностью позволяет получить метод интегральных соотношений, предложенный Г. И. Баренблатом.

Метод основан на следующих предпосылках:

а) в каждый момент времени пласт делится на конечную возмущенную область и невозмущенную область, где движение отсутствует;

б) в возмущенной области распределение давления представляется в виде многочлена по степеням координаты r с координатами, зависящими от времени, так что для плоскорадиальной фильтрации

. (1)

где число п выбирается в зависимости от желаемой точности решения;

в) коэффициенты многочлена а_о, а₁, а₂..., а также размер области возмущения R(t) находится из условий непрерывности давления и гладкости кривой давления на границе области возмущения, а также из особых интегральных соотношений, которые получаются следующим образом.

В случае притока к скважине берется дифференциальное уравнение (1), его правая и левая части умножаются на r^к, где к = 1, 2,... и приводится интегрирование по всей возмущенной области.

. (2)

Если в (2) подставить (1) и проинтегрировать, то получаются недостающие соотношения для определения коэффициентов а_о (t), а₁ (t), а₂ (t) ... и R(t).

Решим методом интегральных соотношений задачу о плоскорадиальной фильтрации упругой жидкости.

Распределение давления в возмущенной области пласта зададим в виде:

, (3)

т. е. возьмем многочлен первой степени.

Коэффициенты а_о, а₁, а₂ определяются из условий на забое скважины и на границе возмущенной области:

, (4)

при , (5)

при . (6)

Условие (6) представляет собой условие гладкости кривой. Пренебрегая вследствие их малости слагаемыми, содержащими r_c и r²_c, получим

(7)

Подставляя (7) в (3), будем иметь:

. (8)

Закон движения границы R (t) находится из уравнения материального баланса с учетом .

Значение средневзвешенного пластового давления с возмущенной области определяется с учетом (3)

. (9)

Интегрируя (9) и пренебрегая членами, содержащими r²_c, получаем

. (10)

Тогда (11)

Подставляя и (11) в , найдем:

,

откуда после интегрирования имеем:

. (12)

Следовательно, распределение давления (3) в возмущенной области будет иметь вид:

(13)