Лекции №15. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости. Поршневое вытеснение нефти водой.

Задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде представляют большой теоретический и практический интерес.

При разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного режима наблюдается стягивание контура нефтеносности (КН.) под напором краевой воды.

Рис. 1. Кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей.

Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что линии тока на границе раздела жидкостей преломляются.

Пусть кривая I-I (рис. 1) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями и , и пусть, например, > (нефть вытесняется водой). Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную и нормаль к границе раздела жидкостей I-I. Найдем проекции скоростей фильтрации воды и нефти, находящихся в данный момент в точке М, ее касательную и нормаль, считая проницаемость пористой среды k постоянной по обе стороны границы раздела.

Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент границы раздела, включающий точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. . Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях (ниже звуковых) разрыва давления в сплошном потоке быть не может.

Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определяться по закону Дарси:

(1)

(2)

Так как > , то из (1) и (2) получаем, что . Отсюда следует, что результирующий вектор скорости фильтрации касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ. Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линий тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижения границы раздела.

Лини тока не будут преломляться только в двух случаях – при прямолинейно-паралельном и плоскорадиальном движениях границы раздела, когда Эти задачи прежде всего и будут рассмотрены. При этом жидкости (нефть и вода) считаются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается происходящим полностью – так называемое поршневое вытеснение.

1. Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой (рис. 2)

Рис. 2. Схема прямолинейно-параллельного вытеснения нефти водой

при x=0; при x=L; начальное положение ВНК.

текущее положение. Примем, т.е. граница нефть-вода – вертикальная.

Распределение давления и скорость фильтрации в водоносной и нефтеносной областях:

0 (3)

(4)

(5)

(6)

Из условия, что имеем откуда

(7)

Подставляя (7) в (3)-(6), получим (8)

(9)

, (10)

Далее , (11)

Плоскорадиальное вытеснение нефти водой (рис. 3)

Рис. 3. Схема плоскорадиального вытеснения нефти водой

радиус начального положения ВНК;

радиус текущего положения ВНК; радиус КП; радиус скважины.

(13)

(14)

(15)

(16)

При т.е. откуда

(17)

Подставляя (17) в (13)-(16), получим:

(18)

(19)

(20)

(21)

Основная литература: 2 [187-197]

Дополнительная литература: 4 [241-257]

Контрольные вопросы:

1. Скорость фильтрации в водоносной области.

2. Давление на границе раздела жидкостей при плоскопараллельной фильтрации.

3. Давление на границе раздела жидкостей при плоскорадиальной фильтрации.