Простейшие следствия из аксиом. Действительные евклидовы пространства

ГЛАВА 6. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Действительные евклидовы пространства

Определение. Говорят, что на действительном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие действительное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*. .

2*. .

3*.

4*. причем .

Простейшие следствия из аксиом

1 º.

► [1*] = [2*] = = [1*] = ◄

2 º.

► = [1*] = = [3*] = = [1*] = ◄

3 º.

► ◄

Итак, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это функция двух векторных аргументов. На основании второй и третьей аксиом она линейна по первому аргументу, а на основании следствий из аксиом – линейна и по второму, т. е. это билинейная форма. Из первой аксиомы вытекает, что эта билинейная форма симметрична, а из четвертой – что она еще и положительно определена. Таким образом, скалярное произведение на действительном линейном пространстве – это положительно определенная симметричная билинейная форма.

Определение. Действительным евклидовым (или просто евклидовым) пространством называется действительное линейное пространство, в котором задана операция скалярного произведения.