Комплексные евклидовы (унитарные) пространства

Определение. Говорят, что на комплексном линейном пространстве задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие комплексное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*. .

2*. .

3*.

4*. причем .

Замечание. Несмотря на то, что скалярное произведение на комплексном пространстве есть число комплексное, из первой аксиомы видно, что скалярный квадрат вектора есть уже число действительное.

Таким образом, видим, что аксиомы скалярного произведения для комплексного пространства отличаются лишь одной первой аксиомой от соответствующих аксиом для действительного пространства. Докажем также простейшие следствия.

1 º.

► [1*] = [2*] = = = [1*] = ◄

2 º.

► = [1*] = = [3*] = = = [1*] = ◄

Итак, функция скалярного произведения на комплексном линейном пространстве по первому аргументу также является линейной, а вот по второму она будет линейной только наполовину. Поэтому и называется эта функция полуторалинейной формой. Полуторалинейная форма, удовлетворяющая первой аксиоме, называется эрмитовой формой, а удовлетворяющая четвертой – положительно определенной. Таким образом, скалярное произведение на комплексном линейном пространстве – положительно определенная эрмитова форма.

Примером комплексного евклидова пространства является пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

.

Покажем, например, что справедлива четвертая аксиома. Действительно, . При этом, если , то , откуда вытекает, что Таким образом, . В том, что все остальные аксиомы выполняются, нетрудно убедиться самостоятельно.

Комплексные и действительные евклидовы пространства мы будем называть просто евклидовыми и обозначать или . Если из контекста непонятно, о каком из пространств идет речь, тогда название будем конкретизировать.