Некоторые свойства скалярного произведения

Так как в произвольном евклидовом пространстве скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то .

Определение.Длиной вектора евклидова пространства Е называется число .

Запишем, как находится длина вектора в известных нам евклидовых пространствах.

; .

Теорема 6.1 (неравенство Коши – Буняковского). В любом евклидовом пространстве модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения их длин, т. е.

. (6.1)

► Если , то неравенство (6.1) истинно. Докажем его при условии, что . Выберем произвольные векторы и . Тогда

. (6.2)

Зафиксируем в (6.2) векторы и и положим . Так как скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то из (6.2) получаем

,

откуда и вытекает неравенство (6.1) после извлечения квадратного корня.

Запишем, как выглядит неравенство Коши – Буняковского в известных нам евклидовых пространствах.

.

Следствие. Для любых ненулевых векторов и евклидовапространства справедливо неравенство

Это позволяет в действительном евклидовом пространстве ввести понятие угла между векторами (в комплексном пространстве понятие угла не вводится).

Определение. Углом между ненулевыми векторами и в действительном евклидовом пространстве называется угол такой, что .

Теорема 6.2 (неравенство треугольника). Длинасуммы любых двух векторов евклидова пространства не превосходит суммы их длин, т. е.

. (6.3)

►

откуда вытекает (6.3) после извлечения квадратного корня.◄

Запишем, как выглядит неравенство треугольника в известных нам евклидовых пространствах:

;

;

.