Определение. Пусть Е – евклидово пространство, – его подпространство. Ортогональным дополнением к подпространству называется подмножество пространства Е

,

которое состоит из векторовпространства Е, ортогональных всем векторам подпространства .

Теорема 6.6. Пусть – евклидово пространство, – его подпространство. Тогда также является подпространством , причем, если – конечномерное, то

(6.17)

► Докажем вначале, что – подпространство . Во-первых, , значит, . Кроме того,

.

Таким образом, на основании теоремы 3.4, – подпространство пространства .

Пусть теперь – конечномерное подпространство пространства , причем и (в этих случаях равенство (6.17), очевидно, выполняется). Обозначим и зададим в какой-либо ортонормированный базис

. (6.18)

Выберем произвольный вектор евклидова пространства и обозначим . Положим , . Покажем, что каждый из векторов (6.18) ортогонален . Действительно, при . Поэтому ортогонален и произвольному вектору подпространства . Таким образом, , причем , а , откуда вытекает, что

Остается показать, что сумма прямая. В самом деле, пусть . Тогда и . Значит, , следовательно, . Таким образом, , и поэтому ◄