Процесс ортогонализации Шмидта

Теорема 6.4. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

► Выберем в какой-либо базис

(6.7)

и на его основе построим систему векторов:

(6.8)

При любом и при любом наборе вектор , так как он представляет собой линейную комбинацию линейно независимых векторов , причем коэффициент при отличен от нуля (равен 1).

Подберем коэффициенты так, чтобы любой из векторов был ортогонален всем предыдущим. Для этого -е равенство из (6.8) умножим скалярно справа на . Например, при = 2 получаем

,

откуда следует, что . При остальных умножениях уже учтем, что при .

.

После конечного числа шагов получаем ортогональную систему ненулевых векторов , которая по теореме 6.3 линейно независима, а значит, в -мерном евклидовом пространстве является базисом. Для того чтобы получить ортонормированный базис, векторы осталось только пронормировать, т. е. каждый разделить на его длину.◄

Процесс доказательства теоремы 6.4 и называется процессом ортогонализации Шмидта.

Пример. В пространстве многочленов степени не выше двух, в котором скалярное произведение задается формулой

,

построим ортонормированный базис, исходя из базиса

.

▼ Поступаем точно так же, как и при доказательстве теоремы. Положим и подберем числа так, чтобы функции были ортогональными.

.

Таким образом, получили ортогональный базис

.

Теперь эти векторы остается пронормировать.

.

Итак, ортонормированный базис:

.▲

§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты

перемножаемых векторов

Определение.Матрицей Грама системы векторов

(6.9)

евклидова пространства называется матрица , где .

Нетрудно показать, что в случае действительного пространства матрица Г симметричная и все ее главные миноры положительны. Если же пространство комплексное, то , т. е.

. (6.10)

Определение. Комплексная квадратная матрица Г, удовлетворяющая условию (6.10) называется эрмитовой.

Таким образом, матрица Грама любой системы векторов комплексного евклидова пространства является эрмитовой. Кроме того, можно также показать, что все ее главные миноры положительны.

В частности, матрицу Грама можно определить и для произвольного базиса. Очевидно, для ортонормированности базиса необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама была единичной.

Выберем в какой-либо базис

(6.11)

и обозначим его матрицу Грама. Выберем также произвольные векторы пространства . Тогда

–

координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;

–

координатная форма записи скалярного произведения в действительном пространстве. Так как , то

–

матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;

–

в действительном пространстве.

В ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется так:

–

координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;

–

в действительном пространстве;

– (6.12)

матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;

–

в действительном пространстве.