![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Процесс ортогонализации Шмидта
Теорема 6.4. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. ► Выберем в
и на его основе построим систему векторов:
При любом Подберем коэффициенты
откуда следует, что
После конечного числа шагов получаем ортогональную систему ненулевых векторов Процесс доказательства теоремы 6.4 и называется процессом ортогонализации Шмидта. Пример. В пространстве многочленов степени не выше двух, в котором скалярное произведение задается формулой
построим ортонормированный базис, исходя из базиса
▼ Поступаем точно так же, как и при доказательстве теоремы. Положим
Таким образом, получили ортогональный базис
Теперь эти векторы остается пронормировать.
Итак, ортонормированный базис:
§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов Определение.Матрицей Грама системы векторов
евклидова пространства Нетрудно показать, что в случае действительного пространства матрица Г симметричная и все ее главные миноры положительны. Если же пространство комплексное, то
Определение. Комплексная квадратная матрица Г, удовлетворяющая условию (6.10) называется эрмитовой. Таким образом, матрица Грама любой системы векторов комплексного евклидова пространства является эрмитовой. Кроме того, можно также показать, что все ее главные миноры положительны. В частности, матрицу Грама можно определить и для произвольного базиса. Очевидно, для ортонормированности базиса необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама была единичной. Выберем в
и обозначим
координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;
координатная форма записи скалярного произведения в действительном пространстве. Так как
матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;
в действительном пространстве. В ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется так:
координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве;
в действительном пространстве;
матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве;
в действительном пространстве.
|