Изоморфизм евклидовых пространств

Определение. Изоморфизмом евклидовых пространств называется взаимно однозначный линейный оператор , сохраняющий скалярное произведение, т.е. удовлетворяющий условию

. (6.19)

Таким образом, изоморфизм евклидовых пространств – в первую очередь изоморфизм линейных пространств, и поэтому если евклидовы пространства изоморфны, то они либо оба действительные, либо оба комплексные и имеют одинаковые размерности.

Теорема 6.7. Все -мерные действительные евклидовы пространства изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма действительное евклидово пространство.

Упражнение. Докажите эту теорему по аналогии с соответствующей теоремой для линейных пространств.

Такое же утверждение справедливо и для комплексных евклидовых пространств.