Примеры действительных евклидовых пространств

1. Пространство свободных векторов с введенным в нем обычным скалярным произведением . Очевидно, всем аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет (эти аксиомы просто «списаны» со свойств обычного скалярного произведения).

2. Пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

(см. § 5 гл.3 ).

3. Пространство непрерывных на отрезке функций, в котором скалярное произведение задается так:

.

Очевидно, трем первым аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет. Проверка четвертой аксиомы – несложное упражнение из математического анализа.

Евклидово пространство будем обозначать буквой . Если соответствующее ему линейное пространство n -мерно, то и евклидово называется n -мерным и обозначается .