Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем для . Тогда существует хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:

(17.1)

Доказательство.

Заметим сначала, что выполняется неравенство , т.к. равенство нулю этой разности противоречит теореме Ролля.

Введем вспомогательную функцию:

.

На концах отрезка эта функция равна:

Таким образом, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, т.к. является линейной комбинацией непрерывных и дифференцируемых функций, и принимает на концах отрезка равные значения.

Следовательно, согласно теореме Ролля, внутри отрезка существует хотя бы одна точка , в которой производная функции обращается в ноль. Имеем:

Что и требовалось доказать.