Определение дифференциала. Его геометрический смысл

Рассмотрим функцию .

По определению производной:

Выражение является бесконечно малой функцией при более высокого порядка, чем . Т.е. приращение функции состоит из двух слагаемых, первое из которых называется главной частью приращения, а второе является бмв.

Главная часть приращения функции называется дифференциалом данной функции и обозначается:

(16.1)

Найдем дифференциал функции :

.

Следовательно, дифференциал аргумента равен приращению этого аргумента:

(16.2)

Формулу (16.1) можно записать в виде:

(16.3)

Из формулы (16.3) вытекает то, что производная функции равна отношению дифференциалов функции и аргумента, т.е.:

(16.4)

Проведем к графику функции в некоторой точке касательную. Зададим в этой же точке приращение аргументу , при этом функция получит приращение . Из рисунка очевидно то, что дифференциал данной функции в точке равен приращению ординаты касательной в этой точке.