Ряды Тейлора и Маклорена. 20.1 Определение степенного ряда

20.1 Определение степенного ряда

Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых, каждое из которых является функцией целочисленного положительного аргумента «».

Обозначение:

(20.1)

При этом называется общим членом ряда.

Всякий член ряда получается из общего члена ряда подстановкой вместо его порядкового номера.

Пример

Степенным рядом называется ряд вида:

Такой ряд называется рядом по степеням

разности .

Если , то степенной ряд принимает вид:

.

20.2 Ряд Тейлора

Рассмотрим функцию . Найдем коэффициенты разложения этой функции в степенной ряд по степеням :

(20.2)

1) Подставим в равенство (20.2) , получим:

Следовательно, коэффициент равен значению функции в точке .

2) Продифференцируем равенство (20.2):

Теперь подставим в последнее равенство , получим:

Следовательно, получили коэффициент

.

3) Найдем производную второго порядка левой и правой частей равенства (20.2):

Теперь подставим в последнее равенство , получим:

Следовательно, получили коэффициент

.

Находя производную третьего порядка и подставляя , получим:

.

Таким образом, выполняя последовательное дифференцирование степенного ряда, получим все коэффициенты разложения. Подставляя эти коэффициенты в выражение (20.2) получим ряд Тейлора:

(20.3)

20.3 Ряд Маклорена

Если в формуле ряда Тейлора обозначить: , то получим ряд Маклорена:

(20.4)