Ең кіші квадраттар әдісі

Жү ргізілген тә жірибе кезінде алынғ ан мә ндер келесі кестені қ ұ рсын.

11-кесте

Осы тә уелділікті аналитикалық ө рнектейтін формуланы табу керек:

Y=F(x) (4.17)

Бұ л функция х₁, х₂,..., х_n нү ктелерінде y₁, y₂, …, y_n мә ндерін қ абылдауы керек.

Мысалы:

	4, 2	2, 98	2, 1	0, 9	0, 3

Егер осы деректерге сү йеніп график салсақ (3-суретте), оғ ан бір қ арағ анда пайда болғ ан сызық ты тү зуге жә не гиперболағ а интерполяциялауғ а болатыны кө рінеді.

3-сурет – (4.43)-есепте келтірілген деректердің графигі

Ендеше осы екі жағ дайды да қ арастырып, ауытқ улардың квадраттарының қ осындыларын салыстыра отырып, қ айсысын таң дағ ан жө н болатынын кө рейік.

1 Жуық таушы функция тү ріндегі тү зу сызық болсын. Осы тү зідің жә не параметрлерінің мә ндерін анық тайық. мә ндерінің тү зуінен ауытқ уы:

ауытқ удың квадраты:

Ауытқ улардың квадраттарының қ осындысы:

Белгілеулер енгізейік:

Сонда мына тү рге келеміз:

Осы жиыннан жә не параметрлері бойынша дербес туындылар аламыз жә не оларды нө лге тең естіреміз:

;

Тең деулерді -ге бө ліп мына тү рге келеміз:

Тең деулер жү йесін жә не -ғ а қ атысты шешіп мынадай ө рнектер аламыз:

Енді осы алынғ ан нә тижелерді мысалдың басында келтірілген 11-кестеге қ олданып кө рейік.

11.1-кесте – (4.43)-есепке қ ою нә тижесі

	4, 2	2, 98	2, 1	0, 9	0, 3	10, 48
	4, 2	5, 96	3, 6	3, 6	2, 5	21, 56

Сонымен:

Іздеп отырғ ан тү зудің тең деуі: ;

11-кесте – Ауытқ улардың квадраттарының қ осындысы

	4, 2	2, 98	2, 1	0, 9	(4.44) 0, 3
	4, 072	3, 084	2, 096	1, 108	0, 12
	0, 218	0, 104	0, 004	0, 208	0, 42
	0, 016384	0, 010816	0, 000016	0, 043264	0, 1764

2 Жуық таушы функция тү ріндегі гипербола болатын жағ дайды қ арастырайық. жә не параметрлерін анық тайық. мә ндерінің гиперболасынан ауытқ уы:

ауытқ удың квадраты:

Ауытқ улардың квадраттарының қ осындысы:

Белгілеулер енгізейік:

Сонда мына тү рге келеміз:

Осы жиыннан жә не параметрлері бойынша дербес туындылар аламыз жә не оларды нө лге тең естіреміз:

;

Тең деулерді -ге бө ліп мына тү рге келеміз:

Тең деулер жү йесін жә не -ғ а қ атысты шешіп мынадай ө рнектер аламыз:

12-кесте – Алынғ ан нә тижелердің кестелік алгоритмі

	4, 2	2, 98	2, 1	0, 9	0, 3	10, 48
		0, 5	0, 333(3)	0, 25	0, 2	0, 2833(3)
		0, 25	0, 11111(1)	0, 0625	0, 04	1, 4636(1)
	4, 2	1, 49	0, 7	0, 225	0, 06	6, 675

Сонымен:

Іздеп отырғ ан гиперболаның тең деуі:

13-кесте – Ауытқ улардың квадраттарының қ осындысы

					(4.45) 5
	4, 2	2, 98	2, 1	0, 9	0, 3
	4, 5347	2, 2905	1, 5424	1, 1684	0, 94398
	0, 3347	0, 6895	0, 5576	0, 2684	0, 64398
	0, 112024	0, 4754	0, 31088	0, 07204	0, 41471

Кө рініп тұ рғ андай, дә л осы жағ дайда бірінші таң даудың дұ рыс екендігі даусыз. Жуық таушы функцияның тү рінде болатын жағ дайын талдауды оқ ырманның ө зіне қ алдырдық. Осы мысал кө рсеткендей, жуық таушы функцияны дұ рыс таң дап алудың практикалық есептерді шығ аруда маң ызы зор.

5 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ЖӘ НЕ ИНТЕГРАЛДЫҚ