Критерий устойчивости Михайлова

Левая часть (3.4) представляет собой характеристический полином

(3.5)

Подставив в (3.5) получим характеристический комплекс:

Найдём полное приращение при изменении ω от - до + для устойчивой и неустойчивой систем. Для простоты ограничимся случаем вещественных корней характеристического полинома.

Представим характеристический полином в виде:

и соответственно

, где - корни характеристического уравнения. Для устойчивой системы при вещественных корнях имеем:

.

Тогда и аргумент .

Отсюда . Таким образом, полное приращения аргумента характеристического комплекса устойчивой системы при изменении ω от - до + составляет .

Если же система неустойчива и среди n корней характеристического уравнения этой системы имеется m положительных корней, то можно показать [3., с. 78], что полное приращение аргумента при изменении ω от - до + равно:

.

Аналогичный результат получается и для случая комплексных корней характеристического полинома (3.5).

Критерий формулируется так.

Характеристический полином (3.5) замкнутой системы управления не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента при изменении ω от - до + равно , где n – степень полинома D(p).

Таким образом, критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по аргументу её характеристического полинома.