Устойчивость замкнутых систем

При рассмотрении переходной характеристики динамической системы мы говорили, что динамическая система может быть устойчивой, находится на грани устойчивости и может быть неустойчивой. Рассмотрим более подробно понятие устойчивости динамической системы.

В общем случае замкнутая система АС может быть описана линейным дифференциальным уравнением вида:

(3.1)

при m n.

Полное описание процессов в замкнутой АС, т.е. описание изменений во времени управляемой величины y(t) при заданном входном воздействии g(t), даётся общим решением уравнения (3.1). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3.1) представляет собой сумму общего решения y_с(t) однородного уравнения: , полученного из (3.1) приравниванием нулю его правой части, и частного решения y_b (t) неоднородного уравнения (3.1), т.е.

(3.2)

Частное решение y_b(t) мы уже находили при рассмотрении частотных передаточных функций (см. (1.17), (1.18), (1.19)) и увидели, что частное решение неоднородного дифференциального уравнения определяет вынужденное движение АС, т.е. реакцию системы на внешнее воздействие в отсутствие начального рассогласования.

Общее решение однородного уравнения y_c(t) определяет свободное движение АС, обусловленное начальным рассогласованием системы в отсутствие внешнего воздействия.

Из курса математики известно, что общее решение однородного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет вид:

(3.3)

где - корни характеристического уравнения системы:

(3.4)

соответствующего дифференциального уравнения (3.1); - постоянные, определяемые начальными условиями.

Начальными условия называют значения функции y(t) и n – 1 её первых производных в момент времени t = 0, т.е. n чисел , среди которых по крайней мере одно должно быть отличным от 0. В противном случае все и свободное движение отсутствует. Это означает, что к моменту времени t = 0 система находилась в состоянии покоя.

Таким образом, общее решение y_c(t) однородного уравнения ищем при ненулевых начальных условиях. Это решение характеризует процессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его название «свободное движение») и определяется начальными условиями. Естественно, что свободное движение нормально работающей АС с течением времени затухает, т.е. y_c(t) при t . Системы, свободное движение которых с течением времени затухает, называются устойчивыми. Устойчивость – важнейшее свойство АС, которое должно быть обеспечено в процессе проектирования и наладки системы. Неустойчивые системы не могут выполнять своих функций. Как следует из (3.3), система устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные корни характеристического уравнения (3.4) этой системы отрицательны и все комплексно-сопряжённые корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, однородное дифференциальное уравнение АС даёт возможность исследовать важнейшие свойства системы – её устойчивость. Графически вышеизложенное можно изобразить так (рис. 3.1).

Все корни характеристического уравнения должны лежать в левой полуплоскости. Следовательно, необходимо решать алгебраическое уравнение, степень которого определяется порядком дифференциального уравнения системы. Но это просто до второго порядка. А что же делать при более высоких степенях?
Рис. 3.1. Графическое изображение условия устойчивости системы

Для решения этой задачи были разработаны критерии (признаки) устойчивости системы, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (3.4) без вычисления его корней. Кроме того, указанные критерии позволяют не только ответить на вопрос, устойчива система или нет, но, что гораздо важнее, и осуществить выбор некоторых параметров системы, обеспечивающий её устойчивость, т.е. решить в какой-то мере задачу синтеза.

Можно показать, что необходимым (но недостаточным) условием устойчивости АС является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (3.4). Это означает, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Если же хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицательный, то система неустойчивая и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Это неопределённый критерий устойчивости.

Определённые критерии устойчивости можно разбить на две большие группы: алгебраические и частотные.

К алгебраическим критериям устойчивости относится критерий устойчивости Гурвица.

Частотные критерии:

- Михайлова – анализ устойчивости системы производится по величине приращения аргумента замкнутой системы при изменении ω от - до + .

- Найквиста – заключение об устойчивости замкнутой системы делается на основании анализа АФХ разомкнутой системы.

- Логарифмический – преломление критерия Найквиста на логарифмические частотные характеристики.