![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Устойчивость замкнутых систем
При рассмотрении переходной характеристики динамической системы мы говорили, что динамическая система может быть устойчивой, находится на грани устойчивости и может быть неустойчивой. Рассмотрим более подробно понятие устойчивости динамической системы. В общем случае замкнутая система АС может быть описана линейным дифференциальным уравнением вида:
при m Полное описание процессов в замкнутой АС, т.е. описание изменений во времени управляемой величины y(t) при заданном входном воздействии g(t), даётся общим решением уравнения (3.1). Как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3.1) представляет собой сумму общего решения yс(t) однородного уравнения:
Частное решение yb(t) мы уже находили при рассмотрении частотных передаточных функций (см. (1.17), (1.18), (1.19)) и увидели, что частное решение неоднородного дифференциального уравнения определяет вынужденное движение АС, т.е. реакцию системы на внешнее воздействие в отсутствие начального рассогласования. Общее решение однородного уравнения yc(t) определяет свободное движение АС, обусловленное начальным рассогласованием системы в отсутствие внешнего воздействия. Из курса математики известно, что общее решение однородного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения имеет вид:
где
соответствующего дифференциального уравнения (3.1); Начальными условия называют значения функции y(t) и n – 1 её первых производных в момент времени t = 0, т.е. n чисел Таким образом, общее решение yc(t) однородного уравнения ищем при ненулевых начальных условиях. Это решение характеризует процессы в системе в отсутствие внешнего воздействия (с чем связано его название «свободное движение») и определяется начальными условиями. Естественно, что свободное движение нормально работающей АС с течением времени затухает, т.е. yc(t)
Для решения этой задачи были разработаны критерии (признаки) устойчивости системы, позволяющие судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (3.4) без вычисления его корней. Кроме того, указанные критерии позволяют не только ответить на вопрос, устойчива система или нет, но, что гораздо важнее, и осуществить выбор некоторых параметров системы, обеспечивающий её устойчивость, т.е. решить в какой-то мере задачу синтеза. Можно показать, что необходимым (но недостаточным) условием устойчивости АС является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (3.4). Это означает, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой. Если же хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицательный, то система неустойчивая и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Это неопределённый критерий устойчивости. Определённые критерии устойчивости можно разбить на две большие группы: алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям устойчивости относится критерий устойчивости Гурвица. Частотные критерии: - Михайлова – анализ устойчивости системы производится по величине приращения аргумента замкнутой системы при изменении ω от - - Найквиста – заключение об устойчивости замкнутой системы делается на основании анализа АФХ разомкнутой системы. - Логарифмический – преломление критерия Найквиста на логарифмические частотные характеристики.
|