Приклад.

Розв’яжемо задачу, коли рівняння руху точки задано у параметричному вигляді через тригонометричні функції:

, (1)

, (2)

Визначимо рівняння траєкторії, по якій рухається точка, та її кінематичні характеристики руху на момент часу = 1 с.

Для того, щоб визначити рівняння траєкторії (виключити час з цих рівнянь), послідовно виконаємо наступні операції. Перепишемо рівняння (1) та (2) у вигляді:

, (3)

. (4)

Піднесемо праву та ліву частину рівнянь (3) та (4) до другого ступеня, складемо праві та ліві частини і отримаємо

(5)

Ми отримали рівняння еліпса з півосями 5 та 3 з центром у точці (2, -1).

Знайдемо положення рухомої точки . При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

= 6, 33 (см), = 0, 50 (см),

Компоненти вектора швидкості знайдемо як перші похідні від та за часом:

,

.

Отже, для = 1 c:

= 2, 62 (см/с),

= –2, 72 (м/с),

(см/с).

Відповідні вектори приведені на рис. 4.1.

Далі визначимо компоненти прискорення як похідні від компонент відповідних швидкостей:

,

.

З останніх рівнянь знайдемо компоненти прискорення та його модуль в завданий момент часу = 1 с:

= – 4, 75 (см/с²),

= – 1, 65(см/с²),

=5, 03 (см/с²).

Відповідні вектори прискорень зображені на рис. 4.2.

Знаходимо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

= – 2, 11 (см/с²).

Від’ємне значення означає, що рух точки сповільнений, а тому тангенціальне прискорення напрямлене проти вектора швидкості (дивись рис. 4.1 та 4.2).

Визначаємо нормальне прискорення і радіус кривизни траєкторії точки :

= 4, 56 (см/с²),

14, 28/4, 56 = 3, 13 (см).

Відповідь: траєкторія руху точки – еліпс, при c: (6, 33; 0, 5),
2, 62 см/с, -2, 72 см/с, 3, 78 см/с, -2, 11 см/с², 4, 56 см/с², 5, 03 см/с², 3, 13 см.