Приклад. Розглянемо механізм, який складається з кривошипа , що обертається навколо осі , шатуна та поршня

Розглянемо механізм, який складається з кривошипа , що обертається навколо осі , шатуна та поршня , який рухається в циліндрі (рис. 3.1). Знайти швидкості точок , і , а також кутову швидкість шатуна для заданого положення механізму, якщо: = 30 см, = 75 см, = 45 см, = 4 рад/с.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі всі ланки механізмурухаються в незмінних площинах. При цьому кривошип здійснює обертальний рух навколо точки , поршень – поступальний рух вздовж направляючих (стінок циліндру), а шатун – плоский рух.

Оскільки нас цікавлять кінематичні характеристики точок, які знаходяться на шатуні , визначимо модуль та напрям лінійної швидкості точки . Ця точка одночасно належить до кривошипа , що обертається навколо нерухомої осі , з відомою кутовою швидкістю , тому лінійну швидкість точки знаходимо за законом обертального руху

.

Її модуль = 4·0, 3 = 1, 2 (м/с), а вектор швидкості спрямований в бік обертання ланки (проти руху стрілки годинника) перпендикулярно до (рис. 6.2).

Напрям руху точки визначають направляючі поршня (циліндр). Таким чином, швидкість точки спрямована під кутом 45° до горизонту. Щоб знайти модуль швидкості точки можна скористатися теоремою про проекції, оскільки точки і належать до одного твердого тіла (шатуна )

, звідки отримуємо ,

тобто = 1, 2 (м/с).

Для визначеня швидкості довільної точки ланки потрібно знайти МЦШ ланки та її кутову швидкість. Для визначення МЦШ встановимо перпендикуляри до швидкостей та в точках і (лінії та ). Точка перетину цих ліній () є МЦШ ланки на даний момент часу.

Отже, шатун в даний момент часу здійснює обертальний рух навколо МЦШ (точки ) з кутовою швидкістю , яку будемо шукати з рівняння

,

в якому нам відома лінійна швидкість точки .

Величину визначимо із трикутника (дивись рис. 6.2). Оскільки = = 45°, а = 90°, то =
= 75·0, 707 = 53 (см) = 0, 53 (м). Отже, підставляючи лінійну швидкість точки та відстань від неї до МЦШ в попередню формулу, отримуємо кутову швидкість шатуна

= = 1, 2/0, 53 = 2, 3 (рад/с).

Знаючи миттєве значення кутової швидкості ланки і положення МЦШ, можемо знайти швидкість довільної точки цієї ланки в даний момент часу (для даного положення механізму). Так, для швидкості точки маємо

= 1, 2 (м/с).

Звернемо увагу на те, що різні методи – теорема про проекції та використання властивостей МЦШ – дають однакові результати для швидкості точки .

Знаючи положення МЦШ можемо визначити швидкість довільної точки ланки . Так, швидкість точки можна знайти за формулою

.

Відстань між точкою і МЦШ знайдемо з трикутника (дивись рис.

6.2), скориставшись теоремою косинусів

=

= = 0, 38 (м).

Тоді для швидкості точки отримаємо

= 2, 3·0, 38 = 0, 86 (м/с).

Відповідь: = 1, 2м/с, = 1, 2 м/с, = 0, 86 м/с, = 2, 3 рад/с.

Завдання ДТ. ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Задача ДТ1. ПРЯМА ОСНОВНА ЗАДАЧА ДИНАМІКИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ.

Визначити рівнодійну силу сил, діючих на матеріальну точку, якщо задана маса точки m і кінематичні рівняння її руху.

Необхідні дані наведені в таблиці Д. 1.

Необхідно знати:

1. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на декартові осі координат.

Необхідно вміти:

1. Брати похідні від різних функцій.