Приклад виконання завдання. Задача. Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл (рис ДС), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги

Задача. Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл (рис ДС), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити швидкість тіла А системи в залежності від шляху S.

Дано:

; ; ; ; ;

S=6м; k=0, 2.

Знайти V_A(S).

Розв’язання. За умовою задачі вихідна механічна система (рис. ДС) складається з абсолютно твердих тіл і якщо силу тертя вважати заданою, а інші в’язі ідеальними, то маємо що , а , де - сума робіт зовнішніх сил, включаючи силу тертя. Крім того, в початковому положенні система нерухома і тому . Звідси випливає, що для даної системи теорема про зміну кінематичної енергії в інтегральній формі приймає вигляд:

. (а)

Рис. ДС

Отже, надалі, згідно з формулою (а), треба визначити кінетичну енергію в кінцевому положенні системи і роботу зовнішніх сил при переході системи з початкового в кінцеве положення. Підставляючи одержані дані в (а) знайдемо . Але перед тим як це зробити треба всі змінні величини виразити через задану і шукану величини тобто через і S. Для цього проведемо відповідний попередній кінематичний розрахунок.

Перед усім виразимо швидкості усіх точок системи через швидкість тіла А, яке рухається поступально.

Лінійна швидкість точки L барабана В, що обертається навколо нерухомої осі, . Звідси кутова швидкість блока В: і . Але нитка КС не розтягується і тому .

Миттєвий центр швидкостей катка Д знаходиться в точці його дотику до площини. Тому:

.

Що стосується до переміщень, то відношення між ними завжди такі, які між швидкостями і тому у даному випадку після того як всі змінні величини виражені через і S визначимо ліву і праву частини рівняння (а).

Почнемо з визначення кінематичної енергії системи в кінцевому положенні, яка дорівнює сумі енергій всіх тіл, що складають дану систему:

. (б)

Знайдемо кінетичні енергії кожного з тіл зокрема.

1). Тіло А здійснює поступальний рух і тому його кінетична енергія

.

2). Барабан В обертається навколо нерухомої осі і тому

,

де - момент інерції барабана відносно осі обертання

.,

де -радіус інерції.

Отже .

3). Кінетична енергія циліндра Д, що здійснює плоскопаралельний рух:

де - момент інерції однорідного суцільного циліндра відносно його центральної осі

.

Підставляючи задані маси тіл і визначені з кінематичного розрахунку значення швидкостей і в (б) одержимо значення кінетичної енергії системи через швидкість

: , (в).

Тепер обчислимо праву частину формули (а). Прикладемо всі зовнішні сили до тіл системи (рис.3.3) і знайдемо суму робіт цих сил на заданому переміщені S:

.

До тіла А прикладені зовнішні сили ваги і тертя, тобто

,

де ,

До тіла Д прикладена зовнішня сила ваги : .

Інші сили, прикладені до системи, роботи не здійснюють і тому . Отже .

Звідси, враховуючи, що , дістанемо

. (г)

Підставимо (в) і (г) до (а) і одержимо що

1, 525m ,

звідки .

При S=6м маємо .

Відповідь: швидкість тіла А в залежності від шляху S виражається формулою (м/с).

Таблиця ДС

Рисунок ДС